DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN ĐẾM – TÍNH XÁC SUẤT SỐ CÁC CHỮ SỐ THỎA MÃN ĐIỀU
KIỆN CHO TRƢỚC
Loại 1: Liên quan đến tính chất chia hết
Câu 1: ( Đề thi học sinh giỏi Quảng Ngãi lớp 11 năm học 2015 – 2016)

Lời giải

Câu 2: ( Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2010 – 2011)
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự
nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn đƣợc một số thuộc A và số đó chia hết cho 3.
Lời giải

Câu 3:

( Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2016 – 2017)

Gọi S là tập hợp các ƣớc số nguyên dƣơng của số 43200. Lấy ngẫu nhiên hai phần tử
thuộc S. Tính xác suất lấy đƣợc hai phần tử là hai số không chia hết cho 5.
Lời giải

Câu 4:

Lời giải

( Đề thi học sinh giỏi Cụm Lạng Giang lớp 11 năm học 2012 – 2013)

Câu 5:

( Đề thi học sinh giỏi Bình Định lớp 12 năm học 2017 – 2018)

Câu 6: ( Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2011 – 2012)
Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác
suất để chọn đƣợc một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.
Lời giải

( Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Long lớp 11 năm học 2014 – 2015)
Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 lập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Lấy
Câu 7:

ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để lấy được số không chia hết cho 3.
Lời giải

Câu 8:

( Đề thi học sinh giỏi Hà Nam lớp 11 năm học 2016 – 2017)

Từ các chữ số 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 lập các số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau. Trong các số lập
đƣợc, chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số đƣợc chọn chia hết cho 1111.
Lời giải

Câu 9:

( Đề thi học sinh giỏi Cẩm Xuyên lớp 11 năm học 2016 – 2017)

Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau đƣợc đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ
hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để kết quả thu đƣợc
là một số chia hết cho 3?
Lời giải

Câu 10: ( Đề thi học sinh giỏi Thái Nguyên lớp 11 năm học 2017 – 2018)
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên
một số tự nhiên thuộc vào tập S . Tính xác suất để chọn đƣợc một số thuộc S và số đó
chia hết cho 9 .

Câu 11: ( Đề thi học sinh giỏi Quảng Nam lớp 11 năm học 2015 – 2016)

Lời giải

Câu 12: ( Đề thi học sinh giỏi Hà Nam lớp 11 năm học 2017 – 2018)

Cho X là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng 18.
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X, tính xác suất để số đƣợc chọn là số chẵn.
Lời giải

Câu 13: ( Đề thi học sinh giỏi Bà Rịa Vũng Tàu lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 , lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác
nhau sao cho tổng của ba chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn và hàng trăm bằng 9?
Câu 14: ( Đề thi học sinh giỏi Cao Bằng lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Một hộp chứa 11 quả cầu đƣợc đánh số theo thứ tự từ 1 đến 11, lấy ngẫu nhiên 6 quả
cầu. Tính xác suất để tổng của các số đƣợc ghi trên 6 quả cầu đó là số lẻ.
Câu 15: ( Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa dự bị lớp 12 năm học 2014 – 2015)

Một hộp đựng chín quả cầu giống nhau đƣợc đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải lấy ra ít nhất
bao nhiêu quả cầu để xác suất có ít nhất một quả ghi số chia hết cho 4 phải
5
lớn hơn ?
6
Lời giải

----------------------------------------------Loại 2: Số lần xuất hiện của chữ số
Câu 16: ( Đề thi học sinh giỏi Quảng Nam lớp 11 năm học 2016 – 2017)
Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên thỏa : là số có 8
chữ số, trong đó có 2 chữ số lẻ khác nhau và 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có
mặt đúng 2 lần.
Lời giải

Câu 17: ( Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2013 – 2014)
Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên
một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên đƣợc lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.
Lời giải

Câu 18: ( Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 11 năm học 2012 – 2013)

Lời giải

Câu 19: ( Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 11 năm học 2015 – 2016)

Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp A  {1;2;...;20}. Tính xác
suất để trong ba số đƣợc chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp.
Lời giải

Câu 20: ( Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2008 – 2009)

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó chỉ có một
chữ số lẻ ?

Lời giải

Câu 21: ( Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2013 – 2014)

Từ các số 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 thành lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên , mỗi số có 5 chữ số
khác nhau , trong đó luôn có mặt chữ số 6.

Câu 22: ( Đề thi học sinh giỏi Diễn Châu 3_Nghệ An lớp 11 năm học 2016 – 2017)

Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau đƣợc tạo thành từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số
đƣợc chọn chứa đúng ba chữ số lẻ.
Lời giải

Câu 23: ( Đề thi học sinh giỏi Đà Nẵng lớp 11 năm học 2010 – 2011)

Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy
ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên đƣợc lấy ra chỉ có mặt ba
chữ số khác nhau.

------------------------------------------------------------------------------

Loại 3: Liên quan đến vị trí

Câu 24: ( Đề thi khảo sát đội tuyển học sinh giỏi lần 2 Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề nhau không
cùng là số lẻ?
Lời giải

Câu 25: ( Đề thi học sinh giỏi Thái Nguyên lớp 12 năm học 2011 – 2012)
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số gồm có 4 chữ số khác nhau đƣợc thành lập từ các
chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau?
Lời giải

Câu 26: ( Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Long lớp 11 năm học 2015 – 2016)

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2
đứng liền giữa hai số 1 và 3.
Lời giải

Câu 27: ( Đề thi học sinh giỏi Quảng Nam lớp 12 năm học 2015 – 2016)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số sao cho trong
mỗi số đó có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn
không đứng cạnh nhau ?
Lời giải

Câu 28: ( Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2014 – 2015)

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ
số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là
số lẻ?

Lời giải

Câu 29: ( Đề thi học sinh giỏi Lào Cai lớp 11 năm học 2017 – 2018)

Lời giải

Câu 30: ( Đề thi học sinh giỏi cụm trƣờng Đông Anh_Hà Nội lớp 11 năm học 2017 – 2018)

Câu 31: ( Đề thi học sinh giỏi Lạng Sơn lớp 11 năm học 2015 – 2016)
Trong hộp chứa các thẻ được ghi dãy số gồm 6 chữ số khác nhau. Tính xác suất để bốc
được một thẻ có ghi các chữ số 1, 2, 3, 4, nhưng chữ số 1, 2 không đứng cạnh nhau và
chữ số 3, 4 không đứng cạnh nhau.

Loại 4: Liên quan đến lớn hơn , nhỏ hơn.
Câu 32: ( Đề thi học sinh giỏi Quảng Ngãi lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số abcd thỏa mãn điều kiện a  b  c  d .
Câu 33: ( Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2012 – 2013)

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác
nhau không lớn hơn 2503?
Câu 34: ( Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2011 – 2012)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.Lấy ngẫu nhiên một số
vừa lập.Tính xác suất để lấy đƣợc một số lớn hơn 2012.
Lời giải

Câu 35: ( Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2014 – 2015)
Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng a1a2 a3a4 a5 a6 .
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác suất để số đƣợc chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa
mãn a1  a2  a3  a4  a5  a6 .
Lời giải

Câu 36: ( Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2014 – 2015)

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập ra tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác
nhau. Chọn ngẫu nhiên hai số trong các số đƣợc lập. Tính xác suất để trong hai số đƣợc
chọn có ít nhất một số lớn hơn 2015.
Câu 37: ( Đề thi học sinh giỏi Triệu Sơn 3 lớp 11 năm học 2017 – 2018)

Cho tập A  0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Có bao nhiêu cách chọn một bộ 3 số phân biệt của A
(không tính thứ tự) để hiệu của 2 số bất kỳ trong 3 số đó có giá trị tuyệt đối không nhỏ
hơn 2.
Lời giải

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƢƠNG ÁN – TÍNH XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN
NGƢỜI HOẶC ĐỒ VẬT
Câu 38: ( Đề thi học sinh giỏi Hải Phòng lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Ngƣời ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Vật lý và 5 cuốn sách Hoá
học ( các cuốn sách cùng loại giống nhau hoàn toàn ) để làm phần thƣởng cho 9 học sinh ( trong
đó có hai học sinh A và B ), mỗi học sinh nhận đƣợc hai cuốn sách khác thể loại ( không tính thứ
tự các cuốn sách ). Tính xác suất để hai học sinh A và B nhận đƣợc phần thƣởng giống nhau.
Câu 39: ( Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2015 – 2016)

Lời giải

Câu 40: ( Đề thi học sinh giỏi Cà Mau lớp 12 năm học 2017 – 2018)

Câu 41: ( Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2017 – 2018)

Một đề thi có 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có bốn phƣơng án trả lời, các phƣơng
án trả lời đôi một khác nhau, trong đó có một phƣơng án đúng, ba phƣơng án sai, trả lời
đúng mỗi câu đƣợc 1,0 điểm, trả lời sai không đƣợc điểm và không bị trừ điểm. Một thí

sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phƣơng án một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để
thí sinh đó đạt từ 7,0 điểm trở lên.
Lời giải

Câu 42: ( Đề thi học sinh giỏi Quảng Ninh lớp 12 năm học 2016 – 2017)

Lời giải

Câu 43: ( Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2015 – 2016)

Câu 44: ( Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2015 – 2016)
Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trƣờng , một trƣờng THPT đã dùng 7 cuốn sách tham khảo

môn Toán, 6 cuốn sách tham khảo môn Vật lí, 5 cuốn sách tham khảo môn Hóa học để làm
phần thƣởng cho 9 học sinh có kết quả cao nhất. Các cuốn sách cùng thể loại: Toán, Vật lí,
Hóa học đều giống nhau. Mỗi học sinh nhận thƣởng sẽ đƣợc 2 cuốn sách khác thể loại.
Trong số 9 họcsinh trên có hai học sinh tên là An và Bình. Tìm xác suất để hai học sinh An
và Bình có phần thƣởng giống nhau.

Câu 45: ( Đề thi học sinh giỏi Nghệ An lớp 11 năm học 2016 – 2017)

Thầy X có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách Văn, 5 cuốn sách Sử và 6 cuốn sách Địa. Các
cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thƣởng
cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn.
Lời giải

Câu 46: ( Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 11 năm học 2013 – 2014)
Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa còn ít nhất 5 chỗ trống. Trên sân ga có 5 hành
khách chuẩn bị lên tàu. Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên,
hai toa có một khách lên và một toa không có khách nào lên tàu.

Câu 47: ( Đề thi học sinh giỏi Phú Thọ lớp 12 năm học 2015 – 2016)

Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 ngƣời khách đến mua quần áo, mỗi ngƣời
khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất một cửa
hàng có nhiều hơn 2 ngƣời khách vào.
Lời giải

DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƢƠNG ÁN – TÍNH XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN
ĐA GIÁC
Câu 48: ( Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2014 – 2015)

Lời giải

Câu 49: ( Đề thi học sinh giỏi Hòa Bình lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Cho đa giác lồi có 14 đỉnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa
giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên trong X một tam giác. Tính xác suất để tam giác đƣợc

chọn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.
Lời giải

Câu 50: ( Đề thi học sinh giỏi Thái Nguyên lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Cho đa giác lồi A1 A2 A3 ... A10 . Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của
đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên trong X một tam giác. Tính xác suất để tam giác
đƣợc chọn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.
Lời giải

Câu 51: ( Đề thi học sinh giỏi Thái Bình lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đƣờng tròn tâm O ( n  N * ,n  2 ). Gọi S là tập hợp các
tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S, biết rằng
1
xác suất chọn đƣợc một tam giác vuông trong tập S là
. Tìm n.
13
Lời giải

Câu 52: ( Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 2015 – 2016)

Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh
của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác
đƣợc chọn là một tam giác cân nhƣng không phải tam giác đều.
Lời giải

Câu 53: ( Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2015 – 2016)
Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của (H).
Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, tính xác suất để chọn đƣợc một tam giác có một cạnh là
cạnh của đa giác (H) và một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H).
Câu 54: ( Đề thi học sinh giỏi Yên Lạc _Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2015 – 2016)

Cho hình đa giác đều H có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của hình H . Tính xác suất
để 4 đỉnh chọn đƣợc tạo thành một hình chữ nhật không phải là hình vuông?
Câu 55: ( Đề thi học sinh giỏi Quảng Nam lớp 11 năm học 2016 – 2017)
Một đa giác đều có 24 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo
của đa giác đó sơn màu đỏ. Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa
giác đều trên. Người ta chọn ngẫu nhiên từ X một tam giác, tính xác suất để chọn được tam giác
có ba cạnh cùng màu.
Lời giải

Câu 56: ( Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa_ dự bị_ lớp 12 năm học 2016 – 2017)
Cho đa giác đều 2n đỉnh, lấy ngẫu nhiên một đƣờng chéo của đa giác này thì xác suất để đƣờng
1
chéo đƣợc chọn có độ dài lớn nhất bằng . Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển
9
1
( x3   2)n .
x

Câu 57: ( Đề thi học sinh giỏi Lâm Đồng lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Có năm đoạn thẳng có chiều dài là 1 , 3 , 5 , 7 , 9  cm  . Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng
từ năm đoạn thẳng đó. Tính xác suất để ba đoạn thẳng đƣợc chọn có thể xếp thành một
hình tam giác.
Lời giải

Câu 58: ( Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Trong không gian cho 2n điểm phân biệt  n  4, n   , trong đó không có ba điểm nào thẳng
hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng. Tìm tất cả các giá trị
của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt.
Lời giải
3
3
Số cách chọn ra 3 điểm từ 2n điểm đã cho là C2n
suy ra số mặt phẳng đƣợc tạo ra là C2n
.
Do trong 2n điểm đã cho có n điểm đồng phẳng nên có Cn3 mặt phẳng trùng nhau
Suy ra số mặt phẳng đƣợc tạo thành từ 2n điểm đã cho là C23n  Cn3  1
Theo bài ra: C23n  Cn3  1  505

2n  2n  1 2n  2  n  n  1 n  2 

 504
6
6
 n  n  18n  4  n  2   3024  n  n  1 7n  2   3024



 7n3  9n2  2n  3024  0   n  8  7n2  47n  378  0  n  8 .

Vậy n  8 .

---------------------------------------------------------------------------------------------DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN ĐẾM – TÍNH XÁC SUẤT LIÊN QUAN ĐẾN XẾP CHỖ , VỊ TRÍ
Câu 59: ( Đề thi học sinh giỏi Bến Tre lớp 12 năm học 2017 – 2018)

Câu 60: ( Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 11 năm học 2017 – 2018)

Lời giải

Câu 61: ( Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2016 – 2017)

Lời giải

Câu 62: ( Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Trong một phòng học, có 36 cái bàn rời nhau đƣợc đánh số từ 1 đến 36 , mỗi bàn dành
cho 1 học sinh. Các bàn đƣợc xếp thành một hình vuông có kích thƣớc 6x6 . Cô giáo xếp
tùy ý 36 học sinh của lớp trong đó có hai em tên là Hạnh và Phúc, vào các bàn. Tính xác
suất để Hạnh và Phúc ngồi ở hai bàn xếp cạnh nhau (theo chiều ngang hoặc chiều dọc).
Lời giải

Câu 63: ( Đề thi học sinh giỏi Chu Văn An lớp 11 năm học 2015 – 2016)

Lời giải

Câu 64: ( Đề thi học sinh giỏi chuyên Bắc Ninh lớp 11)

Có 6 viên bi gồm hai viên bi xanh, hai viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Hỏi có
bao nhiêu cách xếp 6 viên bi thành một hàng sao cho không có hai viên bi
cùng màu xếp cạnh nhau?

Câu 65: ( Đề thi học sinh giỏi Triệu Sơn lớp 11 năm học 2017 – 2018)
Từ 2012 số nguyên dƣơng đầu tiên lấy ra 6 số xếp thành dãy số có dạng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 .
Hỏi có bao nhiêu dãy số có dạng trên biết u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Lời giải

Câu 66: ( Đề thi giữa kỳ 2 Yên Phong 1 _ Bắc Ninh lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Có 6 xe xếp cạnh nhau thành hàng ngang gồm: 1 xe màu xanh, 2 xe màu vàng, 3 xe
màu đỏ. Tính xác suất để hai xe cùng màu không xếp cạnh nhau.
Lời giải

Câu 67: ( Đề thi minh họa môn Toán Bộ GD&ĐT năm học 2017 – 2018)
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A , 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp

12C thành một hàng ngang. Tính xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng
lớp đứng cạnh nhau.
A.
Lời giải

11
.
630

B.

1
.
126

C.

1
.
105

D.

1
.
42

Câu 68: ( Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 11 năm học 2017 – 2018)

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh của lớp 11A, 3 học sinh của lớp 11B và
5 học sinh của lớp 11C thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có học sinh của
cùng một lớp đứng cạnh nhau.
Câu 69: Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh gồm 1 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 4 học sinh
lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 8 học sinh trên không có 2 học sinh
cùng lớp đứng cạnh nhau.
A.

1
20

B.

1
35

C.

1
.
28

D.

3
.
70

Lời giải
Chọn A.
Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần lƣợt là A, B, C.
Số phần tử không gian mẫu là n()  8!
Gọi E là biến cố không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau. Ta có cách xếp nhƣ sau:
C-C-C-C
(Trong đó dấu – là vị trí trống)
Số cách sắp xếp học sinh lớp 12C là 4! (cách)
Để xếp các học sinh lớp 12 A và lớp 12B vào các vị trí còn lại trong hàng ta có hai trƣờng hợp
TH1: Có một học sinh ở phí ngoài ( cuối cùng phía bên phải hoặc cuối cùng phía bên trái)
B
C
B
C
A
C
B
C

Số cách sắp xếp cho các học sinh các trƣờng A và B là

4!.2

TH2: Có một cặp gồm một học sinh trƣờng A và một học sinh trƣờng B ở vị trí trống bên
trong hàng
C
AB
C
A
C
B
C
Số cách sắp xếp cho học sinh các trƣờng A và B là

C11.C13 .2!.2!.3

Số phần tử thuận lợi cho biến cố A là n(E )  4!(2.4! C11.C31.2!.2!.3)
Xác suất của biến cố E là P(E ) 

n(E ) 1

n() 20

Câu 70: [1D2-4-PT2] Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh gồm 1 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B
và 4 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong hàng các học sinh 12C
không đứng cạnh nhau.
1
1
1
1
A..
B.
.
C.
.
D.
.
20
14
35
28
Lời giải
Chọn D.
Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần lƣợt là A, B, C.
Số phần tử không gian mẫu là n()  8!
Gọi E là biến cố các học sinh lớp 12C không đứng cạnh nhau. Ta có cách xếp nhƣ sau:
C-C-C-C
(Trong đó dấu – là vị trí trống)
Số cách sắp xếp học sinh lớp 12C là 4! (cách)
Để xếp các học sinh lớp 12 A và lớp 12B vào các vị trí còn lại trong hàng ta có ba trƣờng hợp
TH1: Có một học sinh ở phí ngoài ( cuối cùng phía bên phải hoặc cuối cùng phía bên trái)
B
C
B
C
A
C
B
C
Số cách sắp xếp cho các học sinh các trƣờng A và B là
4!.2
TH2: Có một cặp gồm một học sinh trƣờng A và một học sinh trƣờng B ở vị trí trống bên
trong hàng
C
AB
C
B
C
B
C
Số cách sắp xếp cho học sinh các trƣờng A và B là
TH3: Có một cặp học sinh trƣờng B ở vị trí trống
C
A
C
BB
C
Số cách sắp xếp cho học sinh các trƣờng A và B là

C11.C31.2!.2!.3

B

C

C32 .2!.2!.3

Số phần tử thuận lợi cho biến cố E là n(E)  4!(2.4! C11.C31.2!.2!.3  C32 .2!.2!.3)
Xác suất của biến cố A là P(E ) 

n(E ) 1

n() 14

Câu 71: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh
lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong hàng các học sinh 12C không đứng
cạnh nhau .
11
1
1
1
A..
B.
.
C.
.
D.
.
630
14
35
28
Lời giải
Chọn A.
Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần lƣợt là A, B, C.
Số phần tử không gian mẫu là n()  10!
Gọi E là biến cố không có 2 học sinh cùng trƣờng đứng cạnh nhau. Ta có cách xếp nhƣ sau:
C-C-C-C-C
(Trong đó dấu – là vị trí trống)
Số cách sắp xếp học sinh lớp 12 C là 5! cách
Để xếp các học sinh lớp12 A và lớp 12B vào các vị trí còn lại trong hàng ta có bốn trƣờng hợp
TH1: Có một học sinh ở phí ngoài ( cuối cùng phía bên phải hoặc cuối cùng phía bên trái)
A
C
B
C
A
C
B
C
B
C
Số cách sắp xếp cho các học sinh các lớp 12A và 12B là
5!.2
TH2: Có một cặp gồm một học sinh lớp 12 A và một học sinh lớp 12B ở vị trí trống bên
trong hàng
C
AB
C
A
C
B
C
B
C
Số cách sắp xếp cho học sinh các lớp 12 A và 12 B là

C21 .C31.2!.3!.4

TH3: Có một cặp gồm 2 học sinh 12A ở vị trí trống bên trong hàng
C
AA
C
B
C
B
C
Số cách sắp xếp cho học sinh các lớp 12 A và lớp 12 B là

C

B

C

3!.4

TH4: Có một cặp gồm 2 lớp 12B ở vị trí trống bên trong hàng
C
BB
C
A
C
A
C
Số cách sắp xếp cho học sinh các lớp 12 A và 12 B là

B

C32 3!.4

Số phần tử thuận lợi cho biến cố A là n(A)  5!(2.5! C21 .C31.2!.3!.4  3!.4  C32 .3!.4)
Xác suất của biến cố E là P(E ) 

n(E ) 11

n() 630

Câu 72: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh
lớp 12C trên một bàn tròn . Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh
cùng lớp ngồi cạnh nhau .
11
1
1
1
A..
B.
.
C.
.
D.
.
630
126
14
28
Lời giải

Chọn B.
Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần lƣợt là A, B, C.
Số phần tử không gian mẫu là n()  9!
Gọi E là biến cố không có 2 học sinh cùng trƣờng đứng cạnh nhau. Ta có các bƣớc sắp xếp
nhƣ sau:
-

Xếp 5 học sinh lớp 12C ngồi vào bàn sao cho giữa hai học sinh luôn có đúng một ghế
trống. Số cách sắp xếp là: 4!

-

Xếp 5 học sinh còn lại vào bàn . Số cách sắp xếp là: 5!
Số phần tử thuận lợi cho biến cố A là: n(A)  5!.4!
Xác suất của A là P(E ) 

n(E )
1

n() 126

Câu 73: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh
lớp 12C trên một bàn tròn . Xác suất để các học sinh cùng lớp thì luôn ngồi cạnh nhau
.
11
1
2
1
A..
B.
.
C.
.
D.
.
630
14
63
28
Lời giải
Chọn B.
Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần lƣợt là A, B, C.
Số phần tử không gian mẫu là n()  9!
Gọi E là biến cố các học sinh cùng trƣờng luôn ngồi cạnh nhau. Ta có các bƣớc sắp xếp nhƣ
sau:
-

Xếp 5 học sinh lớp 12C ngồi vào bàn sao cho các học sinh này ngồi sát nhau. Số cách sắp
xếp là: 5!

-

Xếp 3 học sinh lớp 12B vào bàn sao cho các học sinh này ngồi sát nhau và sát nhóm của
học sinh12C . Số cách sắp xếp là: 3!.2

-

Xếp 2 học sinh lớp 12A vào hai vị trí còn lại của bàn . Số cách sắp xếp là 2!.
Số phần tử thuận lợi cho biến cố A là: n(A)  5!.4!.2.2!
Xác suất của A là P(E ) 

n(E ) 2

n() 63

Câu 74: Xếp ngẫu nhiên 11 học sinh gồm 3 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh
lớp 12C trên một bàn tròn . Xác suất để các học sinh cùng lớp thì luôn ngồi cạnh nhau
.

A..

11
630

B.

1
.
420

C.

1
.
28

D.

1
.
14

Lời giải
Chọn B.
Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần lƣợt là A, B, C.
Số phần tử không gian mẫu là n()  10!
Gọi E là biến cố các học sinh cùng trƣờng luôn ngồi cạnh nhau. Ta có các bƣớc sắp xếp nhƣ
sau:
-

Xếp 5 học sinh lớp 12C ngồi vào bàn sao cho các học sinh này ngồi sát nhau. Số cách sắp
xếp là: 5!

-

Xếp 3 học sinh lớp 12B vào bàn sao cho các học sinh này ngồi sát nhau và sát nhóm của
học sinh12C . Số cách sắp xếp là: 3!.2

-

Xếp 4 học sinh lớp 12A vào hai vị trí còn lại của bàn . Số cách sắp xếp là 3!.
Số phần tử thuận lợi cho biến cố E là: n(E)  5!.3!.2.3!
Xác suất của E là P(E ) 

n(E )
1

n() 420

Câu 75: Xếp ngẫu nhiên 11 học sinh gồm 3 học sinh lớp 12A và 8 học sinh lớp 12B trên một
hàng ngang . Xác suất để các học sinh lớp 12 B đƣợc tách thành 4 nhóm riêng biêt,
mỗi nhóm có ít nhất một học sinh.
11
1
1
7
A..
B.
.
C.
.
D.
.
630
14
420
33
Lời giải
Chọn C.
Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B lần lƣợt là A, B.
Số phần tử không gian mẫu là n()  11!
Gọi E là biến cố các học sinh lớp 12 B đƣợc tách thành 4 nhóm riêng biêt. Ta có các bƣớc
sắp xếp nhƣ sau:
-

Xếp 8 học sinh lớp 12B trên hàng ngang. Số cách sắp xếp là: 8!
B

x B

x B

x B

x B

x B

x B

x B

Khi đó giữa hai học sinh liền kề luôn có khe trống x.
-

Chọn 3 khe trống trong 7 khe trống x, sau đó xếp 3 học sinh trƣờng A vào 3 khe trống. Số

cách chọn và sắp xếp là C73 .3!
Số phần tử thuận lợi cho biến cố E là: n(E )  8!.C37 3!
Xác suất của E là P(E ) 

n(E ) 7

n() 33

Câu 76: Xếp ngẫu nhiên 12 học sinh gồm 4 học sinh lớp 12A và 8 học sinh lớp 12B trên một
hàng ngang . Xác suất để các học sinh lớp 12 B đƣợc tách thành 4 nhóm riêng biêt,
mỗi nhóm có ít nhất một học sinh.
11
1
1
35
A..
B.
.
C.
.
D.
.
630
14
420
99
Lời giải
Chọn C.
Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B lần lƣợt là A, B.
Số phần tử không gian mẫu là n()  12!
Gọi E là biến cố các học sinh lớp 12 B đƣợc tách thành 4 nhóm riêng biêt. Ta có các bƣớc
sắp xếp nhƣ sau:
-

Xếp 8 học sinh lớp 12B trên hàng ngang. Số cách sắp xếp là: 8!

Khi đó giữa hai học sinh liền kề luôn có khe trống x.
B

x B

x B

x B

x B

x B

x B

x B

TH1: Có một học sinh lớp 12A đƣợc xếp ở tận cùng phía bên phải hoạc tận cùng phía bên trái
-

Chọn 3 khe trống trong 7 khe trống x, sau đó xếp 4 học sinh trƣờng A vào 3 khe trống và
một vị trí ở đầu mút của hàng. Số cách chọn và sắp xếp là C73 .4!.2

TH2: Có một khe trống đƣợc xếp 2 học sinh lớp 12A
B

A B

x B

AA B

x B

A B

x B

x B

Số cách chọn 3 khe trống và sắp xếp các học sinh lớp 12 A là. C73 .C42 .2!.2!3
Số phần tử thuận lợi cho biến cố E là: n(E)  8!(C73 .4!.2  C73 .C42 .2!.2!3)
Xác suất của E là P(E ) 

n(E ) 35

n(E ) 99

Câu 77: Xếp ngẫu nhiên 11 học sinh gồm 3 học sinh lớp 12A và 8 học sinh lớp 12B trên một
vòng tròn . Xác suất để các học sinh lớp 12 B đƣợc tách thành 4 nhóm riêng biêt, mỗi
nhóm có ít nhất một học sinh.

A..

11
630

B.

1
.
420

C.

35
.
99

D.

7
.
165

Lời giải
Chọn D.
Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B lần lƣợt là A, B.
Số phần tử không gian mẫu là n()  10!
Gọi E là biến cố các học sinh lớp 12 B đƣợc tách thành 4 nhóm riêng biêt. Ta có các bƣớc
sắp xếp nhƣ sau:
-

Xếp 8 học sinh lớp 12B trên vòng tròn. Số cách sắp xếp là: 7!

Khi đó giữa hai học sinh liền kề luôn có khe trống và có tất cả 8 khe trống nhƣ vậy.
-

Chọn 3 khe trống trong 8 khe trống , sau đó xếp 3 học sinh trƣờng A vào 3 khe trống đã
chọn. Số cách chọn và sắp xếp là C83 .3!
Số phần tử thuận lợi cho biến cố E là: n(E )  7!.C38 .3!
Xác suất của E là P(E ) 

n(E )
7

n() 165

Câu 78: Xếp ngẫu nhiên 12 học sinh gồm 4 học sinh lớp 12A và 8 học sinh lớp 12B trên một
vòng tròn . Xác suất để các học sinh lớp 12 B đƣợc tách thành 4 nhóm riêng biêt, mỗi
nhóm có ít nhất một học sinh.
11
7
1
28
A..
B.
.
C.
.
D.
.
630
165
420
55
Lời giải
Chọn C.
Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B lần lƣợt là A, B.
Số phần tử không gian mẫu là n()  11!
Gọi E là biến cố các học sinh lớp 12 B đƣợc tách thành 4 nhóm riêng biêt. Ta có các bƣớc
sắp xếp nhƣ sau:
-

Xếp 8 học sinh lớp 12B trên vòng tròn. Số cách sắp xếp là: 7!

Khi đó giữa hai học sinh liền kề luôn có khe trống và có tất cả 8 khe trống nhƣ vậy.
-

Chọn 3 khe trống trong 8 khe trống , sau đó xếp 4 học sinh trƣờng A vào 3 khe trống . Số
cách chọn và sắp xếp là C83 .C24 .2!.2!.3
Số phần tử thuận lợi cho biến cố E là: n(E )  7!.C83 .C24 .2!.2!.3
Xác suất của A là P(E ) 

n(E ) 28

n() 55

DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN KHÁC

Câu 79: ( Đề thi học sinh giỏi Phú Thọ lớp 12 năm học 2017 – 2018)
Cho một lƣới ô vuông gồm 16 ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông nhỏ có kích thƣớc 11
(mét) nhƣ hình vẽ bên. Con kiến thứ nhất ở vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B , con
kiến thứ hai ở vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A . Biết rằng con kiến thứ nhất chỉ
có thể di chuyển một cách ngẫu nhiên về phía bên phải hoặc lên trên, con kiến thứ hai
chỉ có thể di chuyển một cách ngẫu nhiên về phía bên trái hoặc xuống dƣới (theo cạnh
của các hình vuông). Hai con kiến xuất phát cùng một thời điểm và có cùng vận tốc di
chuyển là 1 mét/phút. Tính xác suất để hai con kiến gặp nhau trên đƣờng đi.
B

A

Câu 80: ( Đề thi học sinh giỏi Hà Tĩnh lớp 11 năm học 2016 – 2017)

Lời giải