KNTTVCS

CHƯƠNG 2
VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và
khái niệm sau:
· Cho đoạn thẳng
vectơ, kí hiệu là

trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là

, đọc là “vectơ

, điểm cuối là

thì ta có một

”.

· Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là
· Độ dài của vectơ

được kí hiệu là

, độ dài của vectơ

được kí hiệu là

.

· Đường thẳng đi qua điểm đầu và cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ.

Đường thẳng

là giá của vectơ

Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:
· Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
· Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
· Hai vectơ

và

được gọi là bằng nhau, kí hiệu

, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các tính chất và
quy ước sau:
· Trong không gian, với mỗi điểm

và vectơ

cho trước, có duy nhất điểm sao cho

· Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như
· Ta quy ước vectơ-không có độ dài là
bằng nhau và được kí hiệu chung là

.

được gọi là vectơ-không.

, cùng hướng với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều

.

Trang 1

KNTTVCS

2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
a. Tổng của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ
được gọi là tổng của hai vectơ

và

và

. Lấy một điểm

, kí hiệu

tùy ý, vẽ

. Vậy

,

. Vectơ

.

Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tình
chất sau:
 Tính chất giao hoán:
 Tính chất kết hợp:
 Tính chất của vectơ-không:

.
.
.

Đối với vectơ trong không gian, ta có các quy tắc sau:
 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm

ta luôn có:

a

A
.
 Quy tắc hình bình hành: Nếu

là hình bình hành, ta có:

 Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp

, ta có:

Trang 2

.

B
E
M
B
E
D
Eq
uat
io
n.
3
B

b

b
a b

C

KNTTVCS

b. Hiệu của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ
của vectơ

, kí hiệu

và

. Hiệu của vectơ

và vectơ

là tổng vectơ

và vectơ đối

.

Phép lấy hiệu hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

Chú ý: Trong không gian, với ba điểm

tùy ý, ta luôn có:

.

3. Tích của một số với một vectơ trong không gian
a. Định nghĩa:
Cho số

và một vectơ

Vectơ

cùng hướng với

. Tích của vectơ
nếu

với số

, ngược hướng với

là một vectơ, kí hiệu
nếu

.

và có độ dài bằng

.

Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.
Quy ước:

và

.

b.Tính chất:
Với hai vectơ ,

bất kỳ, với mọi số thực

và , ta có:






,

.

Chú ý:
· Hai vectơ

và

· Ba điểm phân biệt

(

khác

) cùng phương khi và chỉ khi có số
thẳng hàng khi và chỉ khi có số

 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Nếu

sao cho

khác 0 sao cho

là trung điểm của đoạn thẳng
.

Trang 3

.

,

.
tuỳ ý, ta có:

KNTTVCS

 Hệ thức trọng tâm tam giác: Nếu

 Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho

là trọng tâm của tam giác

là trọng tâm của tứ diện

,

tuỳ ý, ta có:

,

tuỳ ý. Ta có:

c. Sự đồng phẳng của ba vectơ (tham khảo thêm)
· Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
· Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
Khi đó:

, trong đó

đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số duy nhất

· Cho ba vectơ
Khi đó:

không đồng phẳng,

và

không cùng phương.

sao cho

tuỳ ý.

:

4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
a. Góc giữa hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ

và

đều khác vectơ

Từ một điểm

bất kì ta vẽ

và

.
Góc cho hai vectơ

và

trong không gian, kí hiệu

, là góc giữa hai vectơ

.

Chú ý:

 Nếu

thì ta nói rằng

và

vuông góc với nhau, kí hiệu là

 Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác

luôn bằng

 Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác

luôn bằng

.

.
.

b. Tích vô hướng của hai vectơ
Trong không gian, cho hai vectơ
một số thực, kí hiệu

và

đều khác vectơ

, được xác định bởi công thức sau:

Chú ý:
Trang 4

Tích vô hướng của hai vectơ

và

là

KNTTVCS

 Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ 
 Với hai vectơ 
 Khi 

và

đều khác vectơ

thì tích vô hướng 

và

bằng

, ta có

, ta quy ước 

.

.

được kí hiệu là 

và được gọi là bình phương vô hướng của

vectơ  .
Ta có 

. Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ

dài của vectơ đó.
 Tính chất của tích vô hướng: Với ba vectơ
+
+

bất kì và mọi số

(tính chất giao hoán)
(tính chất phân phối)

+
Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

Trang 5

, ta có:

KNTTVCS

CHỦ ĐỀ 1
CÁC PHÉP VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm

 với ba điểm

ta luôn có:

tùy ý, ta luôn có:

.

 Quy tắc hình bình hành: Nếu

là hình bình hành, ta có:

 Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp

.

, ta có:

 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Nếu

là trung điểm của đoạn thẳng

,

tuỳ ý, ta có:

.
 Hệ thức trọng tâm tam giác: Nếu

 Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho

· Ba điểm phân biệt

là trọng tâm của tam giác

là trọng tâm của tứ diện

thẳng hàng khi và chỉ khi có số

Trang 6

,

,

tuỳ ý, ta có:

tuỳ ý. Ta có:

khác 0 sao cho

.

KNTTVCS

DẠNG 1
CÁC PHÉP VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.

Cho hình tứ diện

có trọng tâm

A.

. Mệnh đề nào sau đây sai.

.

C.

B.
.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A.
Theo giả thuyết trên thì với
Ta thay điểm

là một điểm bất kỳ ta luôn có:

bởi điểm

thì ta có:

Do vậy
Câu 2.

.

là sai.
Cho tứ diện

. Gọi

là trung điểm của

A.

.

B.

C.

.

D.

và

. Chọn khẳng định đúng?
.
.

Lời giải
Chọn B.
Ta có :

và

nên
Câu 3.
để

. Vậy
Trong không gian cho điểm

và bốn điểm

không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ

tạo thành hình bình hành là:
A.
C.

.
.

B.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
Trang 7

KNTTVCS
B

A

D

Câu 4.
đủ để

Trong không gian cho điểm
,

,

,

C

và bốn điểm

,

,

,

không thẳng hàng. Điều kiện cần và

tạo thành hình bình hành là

A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Lời giải
Chọn B.

O
A

D

B

C

Trước hết, điều kiện cần và đủ để

là hình bình hành là:

.
Với mọi điểm

bất kì khác

,

,

,

, ta có:

.
Câu 5.

Cho tứ diện

. Gọi

lần lượt là trung điểm của

và

là trung điểm của

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.

B.

C.

D.

.

Lời giải
Chọn B.
lần lượt là trung điểm của

Suy ra:
Câu 6.

theo quy tắc trung điểm :

hay
Cho tứ diện

. Gọi

.
lần lượt là trung điểm của

Cho các đẵng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Trang 8

và

,

là trung điểm của

.

KNTTVCS

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn A.
.
Câu 7.

Cho hình hộp

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.

.

C.

B.

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A.

D

C

A

B

O
D1

C
1

A
+ Gọi

B1

1

là tâm của hình hộp

.

+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
Câu 8.

Cho hình hộp

với tâm

. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:

A.

B.

C.

D.

.

Lời giải
Chọn B.
Ta có :
Câu 9.

(vô lí)
Cho hình hộp

. Chọn đẳng thức sai?

A.
C.

.
.

B.
D.
Lời giải

Chọn D.
Trang 9

.
.

KNTTVCS

B1

C1
D1

A1

C

B
A

D

Ta có :

nên D sai.

Do

và

nên

. A đúng

Do

nên
nên B đúng.

Do

nên C đúng.

Câu 10. Cho hình lăng trụ tam giác

. Đặt

trong các đẳng

thức sau, đẳng thức nào đúng?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
A

C

B

A1

C1

B1

+ Dễ thấy:

.

Câu 11. Gọi
điểm đoạn

lần lượt là trung điểm của các cạnh
và

và

của tứ diện

là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của

. Gọi

thích hợp điền vào đẳng thức

vectơ:
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn C.
Trang 10

.

là trung

D.

.

KNTTVCS

Ta chứng minh được

nên

Câu 12. Cho tứ diện

. Gọi

là trọng tâm tam giác

Tìm giá trị của

thích hợp điền vào

đẳng thức vectơ:
A.

.

B.

C.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
ta có

.

Câu 13. Cho hình hộp

. Tìm giá trị của

thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B.
Với

ta có:

.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
Câu 14. Cho hình hộp

.

A.
B.
Trang 11

KNTTVCS

C.

.

D.

.
Lời giải

A.
B.

ĐÚNG
ĐÚNG

C.

. ĐÚNG

D.

. ĐÚNG
A

B

D
C

A'
B'

D'

C'

Ta có:
,

Câu 15. Cho hình hộp
A.
B.
C.
D.

.
.
Lời giải

A.

ĐÚNG

B.

ĐÚNG

C.
D.

. ĐÚNG
SAI

Trang 12

KNTTVCS

C

B
A

D
B'

C'

A'

D'

Câu 16. Hãy nhận xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau đây:
A. Tứ giác

là hình bình hành nếu

B. Tứ giác

là hình bình hành nếu

C. Cho hình chóp
D. Tứ giác

.
.

. Nếu có

thì tứ giác

là hình bình hành nếu

là hình bình hành.

.
Lời giải

A. Tứ giác

là hình bình hành nếu

B. Tứ giác

là hình bình hành nếu

C. Cho hình chóp
D. Tứ giác

SAI
. SAI

. Nếu có

thì tứ giác

là hình bình hành nếu

là hình bình hành. ĐÚNG

. SAI
B

A

D

C

là hình bình hành
Câu 17. Trong mặt phẳng cho tứ giác

có hai đường chéo cắt nhau tại

A. Nếu

là hình bình hành thì

B. Nếu

là hình thang thì

C. Nếu
D. Nếu

thì

.

là hình bình hành.
thì

là hình thang.
Trang 13

.

KNTTVCS

Lời giải

A. Nếu

là hình bình hành thì

B. Nếu

là hình thang thì

C. Nếu

. SAI
ĐÚNG

thì

D. Nếu

là hình bình hành. SAI
thì

Câu 18. Cho hình chóp

là hình thang. SAI

có đáy

là hình bình hành. Đặt

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.
Lời giải

A.

. ĐÚNG

B.

. SAI

C.

. SAI

D.

. SAI

S


 a
b

A

D
O

B
Gọi


c

là tâm của hình bình hành


d

C

. Ta phân tích như sau:

(do tính chất của đường trung tuyến)
.
Câu 19. Cho hình chóp

. Gọi

A. Nếu

thì

B. Nếu

là hình bình hành thì

C. Nếu

là hình thang thì

D. Nếu

là giao điểm của

và

là hình thang.
.
.

thì

là hình bình hành.
Trang 14

.

;

;

;

KNTTVCS

Lời giải

A. Nếu

thì

B. Nếu

là hình bình hành thì

C. Nếu

là hình thang thì

D. Nếu

là hình thang. ĐÚNG
. ĐÚNG
. SAI

thì

là hình bình hành. ĐÚNG

S

A
D
O
B

C

A. Đúng vì
Vì

.
và

thẳng hàng nên đặt
.

Mà

không cùng phương nên

và

B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chiêm điểm
C. Sai. Vì nếu

vào vế trái.

là hình thang cân có 2 đáy là

D. Đúng. Tương tự đáp án A với

thì sẽ sai.
là trung điểm 2 đường chéo.

Câu 20. Cho hình chóp
A. Nếu
B. Nếu
C. Nếu

là hình bình hành thì
thì

.
là hình bình hành.

là hình thang thì

D. Nếu

thì

.
là hình thang.
Lời giải

A. Nếu
B. Nếu
C. Nếu
D. Nếu

là hình bình hành thì
thì

. ĐÚNG
là hình bình hành. ĐÚNG

là hình thang thì
thì

. SAI
là hình thang. ĐÚNG

Trang 15

KNTTVCS

Đáp án C sai do nếu

là hình thang có 2 đáy lần lượt là

Câu 21. Cho hình hộp

với tâm

A.

.

B.

.

C.

và

thì ta có

.

.

D.

.
Lời giải

A.

. SAI

B.

. ĐÚNG

C.

. ĐÚNG

D.

. ĐÚNG

Ta có

mà

nên

sai.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 22. Cho tứ diện

. Gọi

và

lần lượt là trung điểm của

và

. Tìm giá trị của

thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
Lời giải
Đáp án:
(quy tắc trung điểm)
Mà

(vì

là trung điểm

)

.

Vậy
Câu 23. Gọi
điểm đoạn
vectơ:

lần lượt là trung điểm của các cạnh
và

và

của tứ diện

là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của
.
Trang 16

. Gọi

là trung

thích hợp điền vào đẳng thức

KNTTVCS

Lời giải

Đáp án:

.

Ta có

,

nên

. Vậy

Câu 24. Cho tứ diện

. Gọi

và

lần lượt là trung điểm của

và

Tìm giá trị của

thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
Lời giải
Đáp án:
Ta có:
Mà

và

lần lượt là trung điểm của

Do đó

và

nên

.

Vậy
Câu 25. Cho hình hộp

. Tìm giá trị của

thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

Lời giải
Đáp án:
B'

C'
D'

A'

C

B
A

Ta có

D

nên

Câu 26. Cho hình hộp

. Tìm giá trị của

Lời giải
Đáp án:

.

Trang 17

thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

KNTTVCS

D

C

A

B

D1

C1

A1

+ Ta có:

B1

. Nên

Trang 18

.

KNTTVCS

DẠNG 2
PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO CÁC VECTƠ

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 27. Cho tứ diện

. Đặt

gọi

là trọng tâm của tam giác

.

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A.

.

B.

.

C.

Lời giải
Chọn C.

Trang 19

.

D.

.

KNTTVCS

A

B

D
G
M
C

Gọi

là trung điểm

.

Câu 28. Cho tứ diện

. Đặt

gọi

là trung điểm của

Trong các

khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.

B.

C.

.

D.
Lời giải

Chọn A.
Ta có:

Câu 29. Cho tứ diện

. Gọi

và

lần lượt là trung điểm của

và

. Khẳng định nào sau đây đúng.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.

Trang 20

. Đặt

,

,

KNTTVCS

Ta có

.

Câu 30. Cho hình lập phương

. Gọi

là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức

đúng?
A.

B.

C.

D.

.

Lời giải
Chọn B.
Theo quy tắc hình hộp:
Mà

nên

.

Câu 31. Cho lăng trụ tam giác
qua các vectơ

có

. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ

.

A.

B.

C.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
C'

A'
B'

C

A

B

Ta có:

.

Câu 32. Cho lăng trụ tam giác
qua các vectơ
A.

có

. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ

.
B.

C.
Lời giải

Chọn D.

Trang 21

D.

KNTTVCS

C'

A'

B'
C

A

B

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

Câu 33. Cho hình lăng trụ

,

là trung điểm của

. Đặt

,

,

.

Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.

A'

C'
B'

M
A

C
B

Ta có
Câu 34. Cho hình hộp
,

,

có tâm

. Gọi

là tâm hình bình hành

. Đặt

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Trang 22

,

KNTTVCS

A' 


x

v

B' 

y

D'

 C'
u

I

A

D
O

B

C

Ta phân tích:
.
.
.
.
Câu 35. Cho hình hộp
A.
C.

. Gọi
.

là trung điểm

. Chọn đẳng thức đúng.

B.
.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B.
B

A
M

C

D

A1

B1

D1

C1

Trang 23

KNTTVCS

A. Sai vì

B. Đúng vì

C. Sai. theo câu B suy ra
D. Đúng vì

.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 36. Cho tứ diện

và

là trọng tâm tam giác

. Phân tích vectơ

theo ba vectơ

.
Lời giải
Đáp án:

.

Vì

nên

là trọng tâm tam giác

Câu 37. Cho tứ diện
tích vectơ

có

theo ba vectơ

.
là trọng tâm tam giác

. Đặt

.
Lời giải

Đáp án:

.

A

x


z


y

B

D
G
C

Gọi

là trung điểm

.

Ta phân tích:

Trang 24

M

;

;

. Phân

KNTTVCS

.
Câu 38. Cho tứ diện
,

. Gọi

và

. Phân tích vectơ

lần lượt là trung điểm của

theo ba vectơ

và

. Đặt

,

,

,

.

.

Lời giải
Đáp án:

.

A


b
M


d


c

B

D
P

C
Ta phân tích:
(tính chất đường trung tuyến)

.
Câu 39. Cho hình lăng trụ

,

Phân tích vectơ

.

theo ba vectơ

là trung điểm của

. Đặt

Lời giải
Đáp án:

.
A'

C'

B'

M
A

C
B

Ta phân tích như sau:
.

Trang 25

KNTTVCS

DẠNG 3
HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 40. Cho 
A. Hai vecto 

. Chọn mệnh đề đúng nhất?
và   là cùng phương

B. Hai vecto   và   là cùng phương và cùng hướng
C. Hai vecto   và   là cùng phương và ngược hướng
Trang 26

KNTTVCS

D. Hai vecto   và   là không cùng phương
Lời giải
Chọn C.
Ta có: 
⇒   và   là cùng phương và ngược hướng.
Câu 41. Cho ba vectơ

không đồng phẳng. Xét các vectơ

.

Chọn khẳng định đúng?
A. Haivectơ

cùng phương.

B. Haivectơ

cùng phương.

C. Haivectơ

cùng phương.

D. Đáp án A, B, C, đều sai.
Lời giải

Chọn B.
Nhận thấy:

nên hai vectơ

Câu 42. Cho tứ diện
diện). Gọi
A.

và điểm

là giao điểm của
.

cùng phương.
thỏa mãn

và mp

B.

(

là trọng tâm của tứ

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn C.
A

G

B

D

G0

M

C

Theo đề:

là giao điểm của

và mp

là trọng tâm tam giác

Ta có:

Trang 27

.

.

KNTTVCS

Câu 43. Cho hình chóp

có đáy là hình bình hành tâm

Gọi

là điểm thỏa mãn:

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.

không thẳng hàng.

B.

C.

D.

.

Lời giải
Chọn B.
S

C

B
O
A
D

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
Câu 44. Cho hai điểm phân biệt

và một điểm

A. Điểm

thuộc đường thẳng

khi và chỉ khi

B. Điểm

thuộc đường thẳng

khi và chỉ khi

C. Điểm

thuộc đường thẳng

khi và chỉ khi

D. Điểm

thuộc đường thẳng

khi và chỉ khi

bất kỳ không thuộc đường thẳng
.
.
.
.

Lời giải
A. Điểm

thuộc đường thẳng

khi và chỉ khi

B. Điểm

thuộc đường thẳng

khi và chỉ khi

C. Điểm

thuộc đường thẳng

khi và chỉ khi

. ĐÚNG

D. Điểm

thuộc đường thẳng

khi và chỉ khi

. SAI

A. Sai vì

(

là trung điểm

)

. SAI
. SAI

thẳng hàng.
Trang 28

.

KNTTVCS

B. Sai vì

và

thẳng hàng: vô lý

C.

thẳng hàng.

D. Sai vì

thẳng hàng: vô lý.

Câu 45. Cho hình hộp

có tâm

. Đặt

;

.

là điểm xác định bởi

.
A.

là tâm hình bình hành

.

B.

là tâm hình bình hành

.

C.

là trung điểm

.

D.

là trung điểm

.
Lời giải

A.

là tâm hình bình hành

. SAI

B.

là tâm hình bình hành

. SAI

C.

là trung điểm

. ĐÚNG

D.

là trung điểm

. SAI

A'

D'

B'

C'
O

A
a

D


b

B

C

Ta phân tích:
.
là trung điểm của

.

Câu 46. Cho tứ diện

. Người ta định nghĩa “

là trọng tâm tứ diện

”.
A.

là trung điểm của đoạn

( ,

lần lượt là trung điểm

và

B.

là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của

và

.

C.

là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của

và

.

).

D. Chưa thể xác định được.
Lời giải
A.

là trung điểm của đoạn

( ,

lần lượt là trung điểm

B.

là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của
Trang 29

và

và

). ĐÚNG

. ĐÚNG

khi

KNTTVCS

C.

là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của

và

. ĐÚNG

D. Chưa thể xác định được. SAI

A
I
G

B

J

C
Ta gọi

và

lần lượt là trung điểm

D

và

.

Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
là trung điểm đoạn

.

Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh đượcphương án B và C đều là các phương án
đúng, do đó phương án D sai.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 47. Cho hình hộp
sao cho

.

là điểm trên

. Với giá trị nào của

thì

sao cho

. Lấy

trên đoạn

.

Lời giải
Đáp án:

.
B'

C'
D'

A'

N

B
M
A

Câu 48. Cho hình hộp
cho

. Tính tỉ số

C

D

. Xác định vị trí các điểm
.
Lời giải

Trang 30

lần lượt trên

và

sao

KNTTVCS

Đáp án:

.

D'

C'

A'

D'
D

N
C
M

A

B

.
Giả sử

.

Dễ dàng có các biểu diễn

Để
Từ

và

. Từ đó suy ra

thì
và

ta có:

.

Vậy các điểm

được xác định bởi

.

Ta cũng có

.

Câu 49. Cho hình hộp
lượt tại

sao cho

. Một đường thẳng
. Tính

.
Lời giải

Đáp án:

.
Trang 31

cắt các đường thẳng

lần

KNTTVCS

A

D
C

B

N
D'

A'
P
B'

C'
M

Đặt
Vì

.
nên
,

Ta có

Do

.

Vậy
Câu 50. Cho

.
hình

hộp

và
. Hãy tính
Lời giải

Đáp án:

.

Trang 32

các
theo

điểm
để ba điểm

xác

định

thẳng hàng.

bởi

KNTTVCS

P

D'

C'

B'

A'
D

C
M

A

B

N

Đặt

.

Từ giả thiết ta có :

Từ đó ta có

.

Ba điểm

thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại

Thay các vec tơ

vào

Câu 51. Cho tứ diện
a) Giả sử
b) Xác định vị trí của

. Gọi

và lưu ý

.

không đồng phẳng ta tính được

lần lượt là trung điểm của

thì giá trị của
để

sao cho

bằng bao nhiêu?
nhỏ nhất.
Lời giải

Đáp án:
Trang 33

và

,

.
là trung điểm của

.

KNTTVCS

a)

b) vị trí của

trùng với G

A
I
G

B
R

J

C

D

a) Chọn A.
.
b) Chọn B.
Ta có

nên

nhỏ nhất khi

Câu 52. Trong không gian cho tam giác

. Tìm

đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Đáp án:
Gọi

là trọng tâm tam giác

là trọng tâm tam giác

.
cố định và

Dấu bằng xảy ra
Vậy

với

là trọng tâm tam giác

Trang 34

.

sao cho giá trị của biểu thức

KNTTVCS

Trang 35

KNTTVCS

DẠNG 4
BÀI TOÁN THỰC TIỄN ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 53. Một chiếc bàn học sinh cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song
song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như hình vẽ. Trọng lực tác dụng lên bàn được
biểu thị bởi vectơ

phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn

được biểu thị bởi các vectơ

.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Vectơ

ngược hướng với vectơ

B. Các vectơ
C. Vectơ

với vectơ

.

cùng phương và ngược chiều với vectơ
đối nhau.
Trang 36

.

KNTTVCS

D. Các vectơ

đôi một cùng chiều và cùng độ lớn.
Lời giải

Chọn C
Do bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn và với mặt bàn nên các vectơ
chiều với vectơ

cùng phương và ngược

.

Trọng lực tác dụng lên bàn được biểu thị bởi vectơ

phân tán đều qua bốn chân bàn nên các vectơ

đôi một cùng chiều và cùng độ lớn.
Vectơ

với vectơ

ngược hướng chứ không phải đối nhau vì hai vectơ đối nhgau là hai vectơ cùng

ngược hướng, cùng độ dài. Đáp án C sai
Câu 54. Một tấm gỗ tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất
phát từ điểm

trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm

lần lượt trên mỗi dây

trên tấm gỗ tròn sao cho các lực căng

đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn

(xem hình vẽ).

Tính trọng lượng
A.

.

của tấm gỗ tròn đó.
B.

.

C.
Lời giải

Chọn D

Trang 37

.

D.

.

KNTTVCS

Gọi

lần lượt là các điểm sao cho

Lấy các điểm

sao cho

là hình hộp .

Theo quy tắc hình hộp ta có:
Do các lực căng

đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn:
có ba cạnh

nên hình hộp

đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thế

hình lập phương có độ dài cạnh bằng

là

, suy ra độ dài đường chéo bằng

Vì tấm gỗ tròn ở vị trí cân bằng nên:
Suy ra trọng lượng của tấm gỗ tròn:
Câu 55. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy
trên là hình chữ nhật
đó được buộc vào móc

, mặt phẳng

song song với mặt mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt

của chiến cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp

nhau và cùng tạo với mặt phẳng

một góc

theo phương thẳng đứng. Biết lực căng
là

có độ dài bằng

như hình vẽ. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên

đều có cường độ

và trọng lượng khung sắt

. Trọng lượng của chiếc xe ô tô gần nhất số nào sau đây?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn A
Gọi O là tâm hình chữ nhật

, Theo bài toán thì là hình chóp

Trang 38

có đường cao là

.

KNTTVCS

Theo quy tắc hình bình hành:

dây cáp

có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng

một góc

nên:

Vì chiếc xe ô tô ở vị trí cân bằng nên:
Suy ra trọng lượng của chiếc xe ô tô:

PHẦN II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 56. Một tấm sắt tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất
phát từ điểm

trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm

lần lượt trên mỗi dây
. Biết trọng lượng

trên tấm sắt tròn sao cho các lực căng

đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn bằng nhau
của tấm sắt tròn đó bằng

Tính lực căng của dây treo tấm sắt tròn đó.
Lời giải
Đáp án:
Trang 39

(xem hình vẽ).

KNTTVCS

Gọi

lần lượt là các điểm sao cho

Lấy các điểm

sao cho

là hình hộp .

Theo quy tắc hình hộp ta có:
Do các lực căng

đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn:
có ba cạnh

nên hình hộp

đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thế

hình lập phương có độ dài cạnh bằng

là

, suy ra độ dài đường chéo bằng

Vì tấm gỗ tròn ở vị trí cân bằng nên:
Ta có:
Câu 57. Một chiếc đèn chùm có khối lượng
cáp

sao cho

a) Sử dụng công thức
trọng lực

được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn

là hình chóp tứ giác đều có

trong đó

(xem hình vẽ).

là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn

, tìm độ lớn của

tác động lên chiếc đèn chùm.

b) Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp.
Câu 58. Một chiếc đèn chùm được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn cáp
cho

và
một góc có

là hình vuông, đồng thời các cạnh

(xem hình vẽ).

Trang 40

sao
tạo với mặt phẳng

KNTTVCS

. Tìm độ lớn của trọng lực

Biết độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp

tác động lên chiếc đèn

chùm.

, được thiết kế với tấm kim loại

Câu 59. Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực
được giữ bởi ba đoạn cáp
cạnh

sao cho

tạo với mặt phẳng

và

một góc có

là tam giác đều, đồng thời các

(xem hình vẽ). Tìm độ lớn của lực căng của

mỗi sợi dây cáp.

Câu 60. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy
trên là hình vuông
được buộc vào móc

, mặt phẳng

song song với mặt mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó

của chiến cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp

và cùng tạo với mặt phẳng

một góc

như hình vẽ. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo

phương thẳng đứng. Biết lực căng
lượng của chiếc xe ô tô

có độ dài bằng nhau

, trọng lượng khung sắt là

. Tính cường độ lực căng của các đoạn dây cáp.

Trang 41

và trọng

KNTTVCS

Trang 42