KNTTVCS

CHƯƠNG 4
QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Khái niệm mở đầu
 Mặt bàn, mặt bảng, mặt hồ nước yên lặng . . . Cho ta hình ảnh của một phần của mặt phẳng. Mặt
phẳng không có bề dày và không có giới hạn.
 Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng
vào một góc của hình biểu diễn.

Mặt phẳng

Mặt phẳng

 Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa
đặt chúng trong dấu
 Mặt phẳng

hoặc chữ cái Hi Lạp

và

.
còn được viết tắt là mp

hoặc

.

Điểm thuộc mặt phẳng và không thuộc mặt phẳng

Cho hai điểm

và mặt phẳng

như hình vẽ

 Điểm

thuộc mặt phẳng

, kí hiệu

 Điểm

không thuộc mặt phẳng

, kí hiệu

.
.

Chú ý:
Để nghiên cứu hình học khoogn gian, ta thường vẽ các hình đó lên bảng hoặc lên giấy. Hình vẽ đó
được gọi là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn của một hình không gian cần tuân
thủ những quy tắc sau :
 Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

KNTTVCS

 Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng
cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
 Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm với đường thẳng.
 Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.

2. Các tính chất thừa nhận
a. Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Chú ý: Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
xác định bởi hai điểm

được kí hiệu

. Ta cũng nói đường thẳng

.

b. Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

KNTTVCS

Chú ý: Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết ba điểm
được kí hiệu là mp

hay đơn giản hơn là

không thẳng hàng. Mặt phẳng đó

.

c. Tính chất 3: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Chú ý: Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Còn nếu
không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó ta nói chúng không đồng phẳng.

d. Tính chất 4: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường
thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Chú ý: Nếu một đường thẳng
đường thẳng
chứa

, hoặc

đi qua hai điểm phân biệt

đều nằm trong mặt phẳng
đi qua

, kí hiệu

. Khi đó, ta nói
hoặc

của mặt phẳng

thì mọi điểm của

nằm trong mặt phẳng

, hoặc

.

e. Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là
một đường thẳng đi qua điểm chung đó.
Chú ý: Đường thẳng chung
hai mặt phẳng đó, kí hiệu

(nếu có) của hai mặt phẳng

và

gọi là giao tuyến chung của

.

f. Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

KNTTVCS

3. Một số cách xác định mặt phẳng
Ta thừa nhận các kết quả sau:
 Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
 Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không
đi qua điểm đó.
 Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Chú ý:
 Mặt phẳng được xác định bởi điểm

và đường thẳng

không chứa

và

 Mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau

được kí hiệu là mp

được kí hiệu

.

.

4. Hình chóp và hình tứ diện
a. Hình chóp

Cho đa giác lồi
đỉnh

ta được

nằm trong mặt phẳng

và điểm

tam gíác

. Hình tạo bởi

được gọi là hình chóp, kí hiệu là

.

Chú ý:
 Trong hình chóp
+ Điểm

, ta gọi:

là đỉnh.

+ Các tam giác
+ Đa giác

không thuộc

là các mặt bên.
là mặt đáy.

+ Các đoạn thẳng

là các cạnh bên.

+ Các cạnh của đa giác

là các cạnh đáy.

. Nối

với các

tam gíác đó và đa giác

KNTTVCS

 Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ
giác, hình chóp ngũ giác, ....

Hình chóp tam giác

Hình chóp tứ giác

b. Hình tứ diện
Cho bốn điểm

không đồng phẳng. Hình tạo bởi bốn tam giác

được gọi là hình tứ diện (hay tứ diện), kí hiệu

và

.

Chú ý:
 Trong hình tứ diện

, ta gọi:

+ Các điểm

là các đỉnh.

+ Các tam giác
+ Các đoạn thẳng

là các mặt của tứ diện.
là các cạnh của tứ diện.

+ Hai cạch không đi qua một đỉnh là hai cạnh đối diện.
+ Đỉnh không thuộc một mặt của tứ diện là đỉnh đối diện với mặt đó.
 Hình tứ diện có bốn mặt là tam giác đều được gọi là tứ diện đều.
 Một tứ diện có thể xem như là một hình chóp tam giác với đỉnh là một đỉnh tùy ý của tứ diện và đáy
là mặt của tứ diện không chứa đỉnh đó.
Nhận xét: Để xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể tìm giao điểm của đường
thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.

KNTTVCS

DẠNG 1
TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TÍNH TỈ SỐ CÁC CẶP CẠNH

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp :
Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
 Bước 1: Tìm hai điểm chung
 Bước 2: Đường thẳng

và

của

và

và

cần thực hiện:

.

là giao tuyến cần tìm

.

Chú ý
 Để tìm điểm chung của

và

ta thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai

mặt phẳng giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng.

b

a


 Khi điểm

A

và

2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp
Cơ sở của phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng
 Trường hợp 1:

chứa đường thẳng

và

d

I



và mặt phẳng
cắt

.

là xét hai trường hợp:

KNTTVCS

 Trường hợp 2:
+ Bước 1: Tìm

không chứa đường thẳng nào cắt

.

sao cho

+ Bước 2: Tìm

.

d

I



3. Tính tỉ số các cặp cạnh
a. Định lý Thalès

b. Trọng tâm tam giác

Nếu

là trọng tâm tam giác

thì :

KNTTVCS

c. Định lí Menelaus: Cho tam giác
. Khi đó

. Các điểm

lần lượt nằm trên các đường thẳng

thẳng hàng khi và chỉ khi:

4. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
Để xác định thiết diện của hình chóp
phẳng
điểm của
hình chóp)

cắt bởi mặt phẳng

, ta tìm giao điểm của mặt

với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao
với hình chóp (và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của

KNTTVCS

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.

Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân

biệt từ bốn điểm đã cho ?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.
Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn tại bộ ba điểm thẳng hàng trong số bốn điểm đó. Cứ ba
điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt có thể lập được từ bốn điểm
đã cho là
Câu 2.

Trong mp

, cho bốn điểm

,

. Có mấy mặt phẳng tạo bởi
A.

.

B.

,

,

trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm

và hai trong số bốn điểm nói trên?

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
Điểm

cùng với hai trong số bốn điểm

cách chọn ra hai điểm, nên có tất cả
Câu 3.

Cho 2 đường thẳng

,

,

,

tạo thành một mặt phẳng, từ bốn điểm ta có

mặt phẳng tạo bởi

và hai trong số bốn điểm nói trên.

cắt nhau và không đi qua điểm

. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu

mặt phẳng bởi a, b và A ?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4.

Lời giải
Chọn B.
Có 3 mặt phẳng gồm
Câu 4.

.

Cho tứ giác lồi

và điểm S không thuộc mp (ABCD). Có nhiều nhất bao nhiêu mặt

phẳng xác định bởi các điểm A, B, C, D, S ?
A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Lời giải
Chọn A.
Có

mặt phẳng.

Câu 5.

Trong mặt phẳng

cho tứ giác

ba trong năm điểm
A.

.

, điểm

?
B.

.

C.
Lời giải

Chọn B.

. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi

.

D.

.

KNTTVCS

Điểm

và 2 điểm bất kì trong 4 điểm

tạo thành 6 mặt phẳng, bốn điểm

tạo thành

1 mặt phẳng.
Vậy có tất cả 7 mặt phẳng.
Câu 6.

Cho năm điểm

,

,

,

,

trong đó không có bốn điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng.

Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A.
Cứ chọn ra ba điểm trong số năm điểm

,

,

,

,

ta sẽ có một mặt phẳng. Từ năm điểm ta có

cách chọn ra ba điểm bất kỳ trong số năm điểm đã cho, nên có

phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã

cho.
Câu 7.

Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là :

A. 5 mặt, 5 cạnh.

B. 6 mặt, 5 cạnh.

C. 6 mặt, 10 cạnh.

D. 5 mặt, 10 cạnh.

Lời giải
Chọn C.
Hình chóp ngũ giác có 5 mặt bên + 1 mặt đáy. 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy.

Câu 8.
A.

Trong các hình chóp, hình chóp có ít cạnh nhất có số cạnh là bao nhiêu?
.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn D.
Hình tứ diện là hình chóp có số cạnh ít nhất.

.

D.

.

KNTTVCS

Câu 9.

Cho tứ diện

. Gọi
,

. Gọi

là một điểm bên trong tam giác

là hai điểm trên cạnh
cắt

A.

tại

,

. Giả sử

cắt

. Giao tuyến của hai mặt phẳng

.

B.

.

tại
và

C.

và
,

là một điểm trên đoạn

cắt

tại

và cắt

tại

là đường thẳng:

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.

Do

là giao điểm của

Ta có

và

nên

là giao điểm của

Mà

(1)

và

,

nên
(2)

Từ (1) và (2) có
Câu 10. Cho tứ diện

.

là trọng tâm tam giác

. Giao tuyến của hai mặt phẳng

và

là:
A.

,

C.

,

là trung điểm
là hình chiếu của

.
trên

.

B.

,

là trung điểm

D.

,

là hình chiếu của

Lời giải
Chọn B.

.
trên

.

KNTTVCS

là điểm chung thứ nhất của

và

là trọng tâm tam giác
và

,

là trung điểm

nên

là điểm chung thứ hai của

.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
Câu 11. Cho hình chóp
trung điểm

nên

và
. Gọi

là

.

là trung điểm của

. Giao tuyến của hai mặt phẳng

,

và

là điểm trên

và không trùng

là:

A.

,

là giao điểm

và

.

B.

,

là giao điểm

và

.

C.

,

là giao điểm

và

.

D.

,

là giao điểm

và

.

Lời giải
Chọn D.

là điểm chung thứ nhất của
và
và

cắt nhau tại

, còn

và
không cắt

,

.

Vậy giao tuyến của

và

là

.

,

nên

là điểm chung thứ hai của

KNTTVCS

Câu 12. Cho tứ diện
phẳng

và

A.

.

C.

, với

. Gọi

,

lần lượt là trung điểm

và

. Giao tuyến của hai mặt

là:
là trọng tâm tam giác

.

B.

.

D.

, với

là trực tâm tam giác

.

Lời giải
Chọn C.

là điểm chung thứ nhất của

và

là trọng tâm tam giác

.

nên

do đó

là điểm chung thứ hai của

và

.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
Câu 13. Cho hình chóp
và

và

là

có đáy

là hình bình hành. Gọi

.Giao tuyến của hai mặt phẳng

A.

.

C.

,

là trung điểm

.

và

.

,

lần lượt là trung điểm

là:
B.

,

là tâm hình bình hành

D.

,

là trung điểm

.

.

Lời giải
Chọn B.

là điểm chung thứ nhất của
là giao điểm của
.

và

và
nên

.
do đó

là điểm chung thứ hai của

và

KNTTVCS

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
Câu 14. Cho hình chóp

và

,

C.

là giao điểm
,

.

có đáy là hình thang

Giao tuyến của hai mặt phẳng
A.

là

và
và

là giao điểm

là trung điểm

.

là:

.

và

. Gọi

.

B.

,

là giao điểm

và

.

D.

,

là giao điểm

và

.

Lời giải
Chọn A.

là điểm chung thứ nhất của
là giao điểm của

và

và

.

nên

,

do đó

là điểm chung thứ hai của

và

.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
Câu 15. Cho bốn điểm
điểm
A.

và

sao cho
.

và

là

.

không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên
cắt

tại

B.

. Điểm

lần lượt lấy các

không thuộc mặt phẳng nào sao đây:

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Học sinh tự vẽ hình nhé

Câu 16. Cho hình chóp tứ giác
nhau và

là một điểm trên cạnh

với đáy

có các cạnh đối diện không song song với

.

Cho các nhận xét sau đây:
Giao điểm của đường thẳng

với mặt phẳng

là điểm

, trong đó

,

KNTTVCS

Giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng

là điểm

, trong đó

,

là trên cạnh

. Tìm giao

Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

đúng và

C.

sai và

sai .

B.

đúng và

đúng.

D.

sai và

đúng.
sai.

Lời giải
Chọn B.
S

M
N

A

K
I

D

B

C

E

đúng
Trong mặt phẳng
Trong

, gọi

.

gọi.

Ta có

và

nên

.

đúng
Trong
Trong

gọi

.

gọi

Ta có

.
và

nên

Câu 17. Cho hình chóp tứ giác
điểm của đường thẳng

.
,

với mặt phẳng

là một điểm trên cạnh
.

A. Điểm K, trong đó

,

,

B. Điểm H, trong đó

,

,

C. Điểm V, trong đó

,

,

D. Điểm P, trong đó

,

,
Lời giải

Chọn A.

,

KNTTVCS

S

K

I

A

M
B
J

D

Trong mặt phẳng
Trong

C

gọi

gọi

N

O

.
và

.

Ta có

.

Do đó

.

Vậy
Câu 18. Cho hình chóp

có đáy

là một tứ giác (

trung điểm của

là điểm nằm trên cạnh

Giả sử đường thẳng

là giao tuyến của

A.

cắt

.

B.

cắt

không song song

sao cho
và

là giao điểm của

C.

cắt

.

Lời giải
Chọn B.
S
N
A

D
M
O

I

Gọi
Ta có:

Lại có
Do đó

.

và

. Nhận xét nào sau đây là sai:

.

B

). Gọi M là

C

D.

cắt

.

.

KNTTVCS

Vậy

cắt

Giả sử

.

cắt

. Khi đó

thuộc mp

. Suy ra

thuộc

(vô lý). Vậy

không cắt

.Đáp án B sai.
Câu 19. Cho hình chóp

với đáy

là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng

tuỳ ý với

hình chóp không thể là:
A. Lục giác.

B. Ngũ giác.

C. Tứ giác.

D. Tam giác.

Lời giải
Chọn A.
Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với mỗi
mặt của hình chóp.
Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất một giao tuyến.
Hình chóp tứ giác

có 5 mặt nên thiết diện của

với

có không qua 5 cạnh, không

thể là hình lục giác 6 cạnh.
Câu 20. Cho tứ diện
cạnh

(

có

,

lần lượt là trung điểm của

không là trung điểm của

A. Tứ giác.

,

và

là một điểm thuộc

). Thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng

B. Ngũ giác.

C. Lục giác.

là

D. Tam giác.

Lời giải
Chọn A
A
R
M
Q

B

D

P

N
C

Gọi

. Gọi

. Suy ra:

Vậy thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng
Câu 21. Cho hình chóp

. Điểm

và
là tứ giác

nằm trên cạnh

.
.
. Thiết diện của hình chóp với mp

là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn B.

.

D.

.

KNTTVCS

S
M
A'
D

A
C

B
I
Xét

và

có

là điểm chung 1.

Gọi
Có

là điểm chung 2.

Gọi

.

Ta có:

Thiết diện là tứ giác

.

Câu 22. Cho tứ diện

,

tứ diện

và

lần lượt là trung điểm

theo thiết diện là đa giác

và

. Mặt phẳng

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

là hình chữ nhật. B.

là tam giác.

C.

là hình thoi.

là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành.

D.

Lời giải
Chọn D.

qua

cắt

KNTTVCS

A
M

N

B

D

C
qua

cắt

ta được thiết diện là một tam giác.

qua

cắt hai cạnh

và

ta được thiết diện là một hình thang.

Đặc biệt khi mặt phẳng này đi qua trung điểm của
Câu 23. Cho hình chóp
của các cạnh

có đáy

và

, ta được thiết diện là một hình bình hành.

là hình bình hành. Gọi

Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

lần lượt là trung điểm
là đa giác có bao nhiêu

cạnh ?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C.

Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
Câu 24. Cho hình chóp

có đáy

cho

. F là trọng tâm tam giác

phẳng

là:

A. Tam giác

B. Tứ giác

là ngũ giác

Đa giác này có

cạnh.

là hình bình hành, E là điểm thuộc cạnh bên SD sao
là điểm thay đổi trên cạnh

C. Ngũ giác.
Lời giải

Thiết diện cắt bởi mặt

D. Lục giác.

KNTTVCS

Chọn C.
Cách 1:

S
E
J

K
F

I

D

A
N

M
L
B
Gọi

là trung điểm của

G

, khi đó

,

,

thẳng hàng.

Trong mặt phẳng

, gọi

là giao điểm của

Trong mặt phẳng

, gọi

là giao điểm của

. Trong
điểm của

với

, gọi

Ta có:

Vậy ngũ giác

Cách 2:

là giao điểm của

với

. Khi đó

với
với

. Ta thấy

.
thuộc

. Trong mặt phẳng

nên
, gọi

thuộc
là giao

.

Trong mặt phẳng
giao điểm của

H

C

, gọi
với

là giao điểm của

với

. Trong mặt phẳng

.

.

là thiết diện của hình chóp cắt bởi

.

, gọi

là

KNTTVCS

S
E
K
F

D

A
N

M

P

L
B

Trong mặt phẳng

, gọi

Trong mặt phẳng

, gọi

G

là giao điểm của

với

là giao điểm của

Trong mặt phẳng

, gọi

là giao điểm của

Trong mặt phẳng

, gọi

là giao điểm của

.
với

với
với

Ta có:

,

.

.
.

.

Vậy ngũ giác

là thiết diện của hình chóp cắt bởi

Câu 25. Cho hình chóp
bên

H

C

có đáy

.

là hình thang với đáy lớn AD, E là một điểm thuộc mặt

. F, G lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB và

mặt phẳng

Thiết diện của hình chóp

cắt bởi

có thể là:

A. Tam giác, tứ giác.

B. Tứ giác, ngũ giác.

C. Tam giác, ngũ giác.

D. Ngũ giác.

Lời giải
Chọn B.
Trong mặt phẳng
điểm của

và

, gọi
.

Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1:

là giao điểm của

và

. Trong mặt phẳng

, gọi

là giao

KNTTVCS
S

I
J
E
G
A

D
K

F
B

C
H

Trong mặt phẳng

,

Ta có

cắt

nên
nên

tại

và cắt đoạn

là giao điểm của

tại
với

là giao điểm của

với

.
,

.

Ta có
Suy ra tứ giác

là thiết diện của hình chóp cắt bởi

.

Trường hợp 2:
S

I
J

E
K

G
M

A

D
F
L

C

B
H

Trong mặt phẳng

,

).
Trong mặt phẳng

:

cắt

tại

và cắt đoạn

tại

(cắt

tại một điểm nằm ngoài đoạn

KNTTVCS

Nếu

song song với

thì ta có:

. Gọi

Áp dụng định lí Menelaus vào các tam giác

là giao điểm của

và

cắt

, giả sử tại

Trong mặt phẳng

.

ta có

. Điều này chỉ xảy ra khi
Do vây

với

thuộc đoạn

(vô lí)

.

, gọi

là giao điểm của

với

.

Ta có

Suy ra ngũ giác

là thiết diện của hình chóp cắt bởi

Vậy thiết diện của hình chóp

cắt bởi mặt phẳng

Câu 26. Cho hình chóp

là trung điểm của

điểm thuộc miền trong tam giác
A. Tam giác, tứ giác.

.
hoặc là tứ giác hoặc là ngũ giác.
thuộc SC sao cho

. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

B. Tứ giác, ngũ giác.

C. Tam giác, ngũ giác.

là một
là:

D. Ngũ giác.

Lời giải
Chọn B.
Trong mặt phẳng
điểm của
phẳng

với
, gọi

Trong mặt phẳng
Trường hợp 1:

, gọi

là giao điểm của

. Trong mặt phẳng
là giáo điểm của

với
, gọi

với

. Trong mặt phẳng
là giao điểm của

.

, có hai khả năng xảy ra như sau:
cắt đoạn

tại

.

S

R

G
E

A

I

F

Q

K

D
P

B

N
C

J

với

, gọi

là giao

. Trong mặt

KNTTVCS

Trong mặt phẳng
giao điểm của

, gọi
với

là giao điểm của

với

. Trong mặt phẳng

, gọi

là

.

Ta có

Trường hợp này, ngũ giác
Trường hợp 2:

cắt

là thiết diện của hình chóp
tại

(

không cắt đoạn

cắt bởi

.

).

S

M

G
E

H
K

A

I

D

F

P

B

N
C

Trong mặt phẳng
ngược lại

cắt cạnh

, gọi
tại

là giao điểm của
, khi đó

với

sẽ cắt cạnh

J
(

không thể cắt đoạn

(vô lí vì

đã cắt cạnh

Khi đó
Trường hợp này, tứ giác

là thiết diện của hình chóp cắt bởi

.

vì giả sử
)).

KNTTVCS

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
Câu 27. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
b) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
c) Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
d) Nếu ba điểm phân biệt

cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

a) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
b) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau. Khi đó, chúng có vô số đường thẳng
chung

B sai.

c) Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
d) Nếu ba điểm phân biệt
Câu 28. Cho các hình sau :

cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.

KNTTVCS
A
B

D

A

A

A

C

C
B

C

Hình (I)

D

B

 

Hình (II)

C

D

B

Hình (III)

Hình (IV)

a) Hình (I) là hình biểu diễn của một hình tứ diện.
b) Hình (II) là hình biểu diễn của một hình tứ diện.
c) Hình (III) là hình biểu diễn của một hình tứ diện.
d) Hình (IV) là hình biểu diễn của một hình tứ diện.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

Hình (I) và hình (II) là hình biểu diễn của một hình tứ diện.
Hình (III) và (IV) là hình phẳng.

Câu 29. Cho hình chóp

a) Hình chóp

có

b) Hình chóp

có

có

và

(hình vẽ).

mặt.
cạnh.

c) Giao tuyến của mặt phẳng

và mặt phẳng

là đường thẳng

d) Giao tuyến của mặt phẳng

và mặt phẳng

là đường thẳng

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

D

KNTTVCS

a) Hình chóp

có

mặt gồm 4 mặt bên và 1 mặt đáy.

b) Hình chóp

có

cạnh.

c)

là điểm chung thứ nhất của

và
là điểm chung thứ hai của

Vậy giao tuyến của mặt phẳng
d)

và mặt phẳng

là điểm chung thứ nhất của

là đường thẳng

và
là điểm chung thứ hai của

Vậy giao tuyến của mặt phẳng
Câu 30. Cho hình chóp
a) Hình chóp

có

và

và mặt phẳng

và
là đường thẳng

có đáy là hình thang

.

mặt bên.

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng

và

là

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng

và

là

d) Giao tuyến của hai mặt phẳng

và

là đường trung bình của

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

(
(

là giao điểm của
là giao điểm của

và
và
.

).
).

KNTTVCS

Hình chóp

có

mặt bên

,

,

,

,

là hai điểm chung của

và

nên b) đúng.

,

là hai điểm chung của

và

nên c) đúng.

Giao tuyến của

và

là

, rõ ràng

nên a) đúng.

không thể là đường trung bình của hình thang

.
Câu 31. Cho hình chóp
và

có đáy

là hình bình hành. Gọi

,

lần lượt là trung điểm

.

a)

là hình thang.

b)

.

c)

.

d)

,

là tâm hình bình hành

.

Lời giải

a)
,
b)

a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

là hình thang.
lần lượt là trung điểm
.

và

nên

do đó

là hình thang.

KNTTVCS

c)

.

d)

,

Ta có

là tâm hình bình hành

và

.

. Mà

trong đó

là tâm hình bình hành

nên
Vậy

là sai

Câu 32. Cho hình chóp
thuộc cạnh

. Gọi

, đáy

là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm

là giao điểm của

a) Giao tuyến của cặp mặt phẳng

và

.

và

b) Giao tuyến tuyến của cặp mặt phẳng:

là
và

c) Giao tuyến của cặp mặt phẳng:

và

d) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng

.
là

là
và

, trong đó
là

, trong đó

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

S
M

A
D

O

F

C
B
E

a) đúng
Vì
Lại có

. Suy ra nhận xét đúng

b) đúng
Vì
Và

.
. Suy ra nhận xét đúng

KNTTVCS

c) đúng
Trong

gọi

Và

. Suy ra nhận xét đúng

d) đúng
Trong

gọi

, ta có

Câu 33. Cho tứ diện
a) Tứ diện

,

. Suy ra nhận xét đúng

là một điểm thuộc miền trong tam giác

,

là điểm trên đoạn

có 4 cạnh.

b) Giao tuyến của mặt phẳng

với mặt phẳng

là PC trong đó

,

c) Giao tuyến của mặt phẳng

với mặt phẳng

là DR trong đó

,

d) Gọi

là các điểm tương ứng trên các cạnh

tuyến của hai mặt phẳng

và

và

sao cho

là FG, trong đó

không song song với
,

,

.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG
A

R

G

M

P

D
Q

J
B

O

K
I

N
C

F

a) Sai

E

. Giao
,

KNTTVCS

Tứ diện

có 6 cạnh.

b) đúng
Trong

gọi

, trong

gọi

Lại có

.

c) đúng
Tương tự, trong

gọi

, trong

là điểm chung thứ hai của

và

gọi

nên

.

d) đúng
Trong

gọi

,

Có

; trong

gọi

.

,

Mà

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 34. Cho hình chóp
Gọi

có đáy

là giao điểm của đường thẳng

là hình bình hành. Gọi
vơí mặt phẳng

Trả lời: ………………..
Lời giải

. Tính tỉ số

là trung điểm của cạnh
.

.

KNTTVCS

S

M

I

B

A
O

C

Gọi

D

. Ta có:

Suy ra

;

.

Xét tam giác
giác

có hai đường trung tuyến

và

. Vậy

là trọng tâm tam

.

Câu 35. Cho hình chóp
tâm tam giác

. Mặt phẳng

, đáy
cắt cạnh

là hình thang với
tại

Trả lời: ………………..
Lời giải

là trung điểm của

Ta có:
Suy ra, I là trung điểm của BM
Xét

cắt nhau tại điểm

.

Vậy ta có

Gọi

.

. Tính tỉ số

là đáy lớn
.

,

là trọng

KNTTVCS

Câu 36. Cho tứ diện
sao cho

Gọi

có

lần lượt là trung điểm của

là giao điểm của

với

và

.

. Tính tỉ số

là điểm thuộc cạnh
.

Trả lời: ………………..
Lời giải

Suy ra:
Xét
Xét
Câu 37. Cho hình chóp
cạnh

sao cho

, đáy
. Mặt phẳng

là hình thang
cắt cạnh

Trả lời: ………………..
Lời giải

tại

,
. Tính tỉ số

.

là điểm thuộc

KNTTVCS

Ta có:

Suy ra:
Câu 38. Cho hình chóp
trung điểm của

và

có đáy
. Gọi

là hình bình hành tâm

là giao điểm của

với

. Gọi

lần lượt là

. Tính tỉ số

Trả lời: ………………..
Lời giải
Trong mp
Do

, gọi

. Dễ thấy

là đường trung bình của tam giác

Suy ra

và

.
nên

là trung điểm AO.

là đường trung bình của tam giác

. Do đó

.

Áp dụng định lý Thales ta có:
Câu 39. Cho hình chóp
của

và

của

với mặt phẳng

có đáy

. Trên đường thẳng

là hình bình hành. Gọi

lấy điểm

sao cho

lần lượt là trung điểm

là trung điểm

. Gọi

là giao điểm

. Tính tỉ số

Trả lời: ………………..
Lời giải
Trong mp

, gọi

Dễ thấy
Do

.

.
là đường trung bình của tam giác

Áp dụng định lý Menelaus vào taam giác

Câu 40. Cho hình chóp
điểm nằm trên cạnh
là giao điểm của

có đáy
sao cho

với

nên

là trung điểm DO. Suy ra

.

ta có:

là hình bình hành tâm
. Gọi

. Tính tỉ số

Trả lời: ………………..
Lời giải

. Gọi

là điểm trên cạnh

lần lượt là các
sao cho

.

KNTTVCS

S

D

A

J

M

K
O

I
B

N

C

ta có:
Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác
Câu 41. Cho hình chóp
AB sao cho

ta có:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và

. Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng

P là điểm nằm trên cạnh

. Tính tỉ số

Trả lời: ………………..
Lời giải

Trong mặt phẳng

, gọi

Khi đó Q chính là giao điểm của SC với EM.
Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác ABC ta có:
Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác SAC ta có:
Câu 42. Cho hình chóp
với

là giao điểm của

Trả lời: ………………..

lần lượt là trung điểm của
với

. Tính

. Gọi

là giao điểm của
?

KNTTVCS

Lời giải
S

F

B

A

M

D

E

C

Ta có:

.

Tương tự ta cũng chứng minh được:
Và
Từ (1), (2), (3) suy ra
Câu 43. Cho hình chóp
của hình chóp

có đáy

là hình bình hành. Gọi

cắt bởi mặt phẳng

là trung điểm

là hình gì?

Trả lời: ………………..
Lời giải

S

J

I
B

O

A

Gọi
Khi đó
Gọi

là giao điểm của

và

là trọng tâm tam giác
. Khi đó

C

G

D
,

là giao điểm của
. Suy ra

là trung điểm

Do đó thiết điện của hình chóp cắt bởi

và

.

là trọng tâm tam giác

.

.
là hình thang

(

là trung điểm

).

. Thiết diện

KNTTVCS

Câu 44. Cho hình chóp
trên các cạnh

có đáy

là một hình bình hành tâm

. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

. Gọi

là ba điểm

là hình gì?

Trả lời: ………………..
Lời giải

S
H
T

P

R
F

N
D
M

E
Trong mặt phẳng

gọi

Trong mặt phẳng

gọi

Trong mặt phẳng

gọi

C
O

A

gọi

Trong mặt phẳng

K

B

lần lượt là giao điểm của

với

.

.

Ta có
.
Lí luận tương tự ta có
Thiết diện là ngũ giác

.
.

Câu 45. Cho hình chóp tứ giác
trên cạnh

, có đáy là hình thang với
là hình gì?

lần lượt là trung điểm của các cạnh

hình gì?
Trả lời: ………………..
Lời giải
a)

là một điểm

.

a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
b) Gọi

là đáy lớn và

. Thiết diện của hình chóp cắt bởi

là

KNTTVCS

S

P
Q

A

B

D
C
E

Trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng
Ta có

, gọi

.

gọi

.

nên

Thiết diện là tứ giác

, do đó

.

.

b)

S
P
H
F

A
K

D

M
B

Trong mặt phẳng

gọi

Trong mặt phẳng

gọi

Trong mặt phẳng

gọi

Ta có
Vậy
Tương tự

.

G

C

lần lượt là các giao điểm của

.
,

N

với

và

KNTTVCS

Thiết diện là ngũ giác

.

Câu 46. Cho hình chóp
cạnh

có đáy

sao cho

là hình bình hành, gọi
. Mặt phẳng

cắt

tại

lần lượt là 2 điểm thuộc
thỏa mãn

. Tính

số k.
Trả lời: ………………..
Lời giải

Xét
Ta có:
Xét
Câu 47. Cho tứ diện đều
sao cho
mặt phẳng

có các cạnh bằng
là điểm thuộc cạnh

với mặt phẳng

. Gọi

là trung điểm

sao cho

của hình chóp

,

. Tính độ dài đoạn giao tuyến của
theo

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
A
E
H
D

B
G

F
C

là điểm thuộc cạnh

I

KNTTVCS

Trong mp
Trong mp

, gọi

.

, gọi

.

Khi đó

.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác

với ba điểm

thẳng hàng ta có:

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác

với ba điểm

thẳng hàng ta có:

Áp dụng định lý cosin vào tam giác

Câu 48. Cho tứ diện
sao cho

ta có:

có cạnh bằng a. Trên tia đối của các tia CB, DA lần lượt lấy các điểm E, F
. Gọi M là trung điểm của đoạn

cắt bởi mặt phẳng

Tính diện tích thiết diện của tứ diện

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
A

M
K
H

B

F

D
C
E

Trong mặt phẳng

, gọi

là giao điểm của

với

Trong mặt phẳng

, gọi

là giao điểm của

và

Ta có:

.

.
.

KNTTVCS

Do đó tam giác
Dễ thấy

là thiết diện của tứ diện cắt bởi

.

lần lượt là trọng tâm của các tam giác

Ta có:

và

.

.

Xét hai tam giác

và

này bằng nhau. Suy ra

có

chung,

nên hai tam giác

. Vậy tam giác

Áp dụng định lí cosin trong tam giác

cân tại

.

:
.

Gọi

là trung điểm của đoạn

. Ta có

.

Suy ra:

.

Diện tích thiết diện

là:

.

DẠNG 2
BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

1. Chứng minh ba điểm A; B; C thẳng hàng:
Phương pháp
+ Bước 1: Chứng minh 3 điểm

.

+ Bước 2: Chứng minh 3 điểm

.

+ Bước 3: Kết luận 3 điểm

thuộc giao tuyến chung của 2 mặt phẳng

và

thẳng hàng.


d
A

B

C



d3

2. Chứng minh 3 đường thẳng

đồng quy:

Phương pháp
+ Bước 1: Tìm

I

.



d1
d2

KNTTVCS

+ Bước 2: Chứng minh

đi qua

đồng quy tại

.

.

3. Chứng minh đường thẳng trong không gian qua một điểm cố định
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp là:
Ta cần tìm trên

hai điểm tùy ý

đó thẳng hàng với điểm
đi qua điểm

A

,

và chứng minh hai điểm

B
I (cố định)

cố định có sẵn trong không gian

cố định.


d

Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là:
- Bước 1: Tìm đường thẳng
mặt phẳng cố định

chứa

cố định ở ngoài

di động.

- Bước 2: Tìm giao điểm

của

là điểm cố định mà

I
(cố định)

và

d



đi qua.

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
Câu 1.

Cho tứ diện

và
A.

lần lượt tại
,

,

.

. Gọi
,

,

. Biết
B.

,

lần lượt là trung điểm
cắt

,

.

tại

và

. Mặt phẳng

qua

. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
C.

Lời giải

,

,

.

D.

,

,

.

cắt

KNTTVCS

Chọn B....