TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Điện thoại: 0946798489

• CHƯƠNG 4. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
Mặt bảng, màn hình máy tính hay mặt nước lúc tĩnh lặng là một số hình ảnh về một phần của mặt
phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.

Chú ý
- Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết tên của mặt phẳng vào một
góc của hình. Ta cũng có thể sử dụng một góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó.

- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc (). Trong
Hình 4.1, ta có mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng ( ) .
- Điểm A thuộc mặt phẳng ( P ) , kí hiệu A  ( P) .
- Điểm B không thuộc mặt phẳng ( P ) , kí hiệu B  ( P) .
Nếu A  ( P) ta còn nói A nằm trên ( P ) , hoặc ( P ) chứa A , hoặc ( P) đi qua A .

Chú ý. Để nghiên cứu hình học không gian, ta thường vẽ các hình đó lên bảng hoặc lên giấy.
Hình vẽ đó được gọi là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn của một hình
không gian cần tuân thủ những quy tắc sau:
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường
thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị
che khuất.

Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.
2. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Nhận xét. Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt
phẳng đó. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C là ( ABC ) . Nếu có
nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Nếu không có mặt
phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói những điểm đó không đồng phẳng.
Ví dụ 1. Cho bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng (H.4.5).

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho?
Giải
Có 4 mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho, đó là các mặt phẳng ( DAB),( DAC ), ( DBC )
và ( ABC ) .
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường
thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Chú ý. Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng ( P ) thì ta nói đường thẳng d
nằm trong ( P ) hoặc ( P ) chứa d . Khi đó ta kí hiệu là d  ( P) hoặc ( P)  d .
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và một điểm M thuộc đường thẳng BC , ( H .4.6) .

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

a) Điểm M có thuộc mặt phẳng ( ABC ) hay không?
b) Đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng ( ABC ) hay không?
Giải
a) Đường thẳng BC có hai điểm phân biệt B, C thuộc mặt phẳng ( ABC ) nên đường thẳng BC
nằm trong mặt phẳng ( ABC ) . Vì M thuộc đường thẳng BC nên M thuộc mặt phẳng ( ABC ) .
b) Đường thẳng AM có hai điểm phân biệt A, M thuộc mặt phẳng ( ABC ) nên đường thẳng
AM nằm trong mặt phẳng ( ABC ) .
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường
thẳng đi qua điểm chung đó.
Chú ý. Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt ( P ) và (Q ) được gọi là giao
tuyến của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là d  ( P )  (Q) .
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mặt phẳng ( ABC ) . Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC, ( H .4.8) .

a) Chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng ( SBN ),( SCM ) và khác điểm S .
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng ( SBN ) và ( SCM ) có đi qua trọng tâm của tam giác ABC hay
không?
Giải
a) Trong tam giác ABC , hai đường trung tuyến BN và CM cắt nhau tại trọng tâm G của tam
giác. Điểm G thuộc BN nên cũng thuộc mặt phẳng ( SBN ) . Điểm G thuộc CM nên cũng thuộc
mặt phẳng ( SCM ) . Vậy G là một điểm chung của hai mặt phẳng ( SBN ) và ( SCM ) .
b) Vì S , G là hai điểm chung của hai mặt phẳng ( SBN ) và cùng ( SCM ) nên giao tuyến của hai
mặt phẳng này là đường thẳng SG . Đường thẳng này đi qua trọng tâm G của tam giác ABC .
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm cùng thuộc cả hai mặt phẳng đó.

Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Nhận xét. Hai đường trung tuyến trong một tam giác cắt nhau tại trọng tâm của tam giác là một
tính chất đã được học trong hình học phẳng. Trong ví dụ trên, tính chất này đã được áp dụng cho
tam giác ABC trong mặt phẳng ( ABC ) .
Trong trường hợp tổng quát, ta có tính chất sau:
Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
3. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG
Ở mục 2, ta đã thừa nhận kết quả sau:
Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Mục này sẽ tiếp tục giới thiệu thêm hai cách xác định một mặt phẳng.
- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng
không đi qua điểm đó.
- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Chú ý. Mặt phẳng được xác định bởi điểm A và đường thẳng d không chứa A được kí hiệu là
mp( A, d ) . Mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b được kí hiệu là
mp(a, b) .
Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau a, b và gọi S là một điểm không thuộc
mp(a, b), ( H .4.10) .

Xác định giao tuyến của mp( S , a) và mp( S , b) .
Giải
Gọi M là giao điểm của a và b . Vì M thuộc a nên M thuộc mp( S , a) . Vì M thuộc b nên
M thuộc mp( S , b) . Hai điểm S , M cùng thuộc mp( S , a) và mp( S , b) nên giao tuyến của hai mặt
phẳng đó là đường thẳng SM .
4. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN
- Cho đa giác lồi A1 A2  An và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các
đỉnh A1 , A2 , , An để được n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 . Hình gồm n tam giác
SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 và đa giác A1 A2  An được gọi là hình chóp và kí hiệu là S . A1 A2  An .
- Trong hình chóp S . A1 A2  An , điểm S được gọi là đỉnh và đa giác A1 A2  An được gọi là mặt
đáy, các tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 được gọi là các mặt bên; các cạnh SA1 , SA2 , , SAn được
gọi là các cạnh bên; các cạnh A1 A2 , A2 A3 , , An A1 được gọi là các cạnh đáy.
Chú ý
Tên của hình chóp được gọi dựa theo tên của đa giác đáy, ví dụ hình chóp có đáy là tứ giác được
gọi là hình chóp tứ giác.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABCD (H.4.11). Hình chóp đó có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh?

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Giải
Hình chóp S . ABCD có 5 đỉnh là S , A, B, C , D và có 8 cạnh là SA, SB, SC , SD, AB, BC , CD, DA .
- Cho bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC , ACD, ABD và
BCD được gọi là hình tứ diện và được kí hiệu là ABCD .
- Trong hình tứ diện ABCD , các điểm A, B, C , D được gọi là các đỉnh của tứ diện, các đoạn
thẳng AB, BC , CD, DA, AC , BD được gọi là các cạnh của tứ diện, các tam giác
ABC , ACD, ABD, BCD được gọi là các mặt của tứ diện.
- Trong hình tứ diện, hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không
nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều
Nhận xét. Hình tứ diện là một hình chóp tam giác mà mặt nào của hình tứ diện cũng có thể được
coi là mặt đáy.
Ví dụ 6. Cho hình tứ diện ABCD và E là một điểm nằm trong tam giác BCD . Gọi F là một
điểm nằm giữa A và E , ( H .4.12) .

Xác định giao điểm của đường thẳng BF và mặt phẳng  ACD  .
Giải
Vì điểm E nằm trong tam giác BCD nên đường thẳng BE cắt cạnh CD tại một điểm M . Các
điểm A, E thuộc mặt phẳng ( ABM ) nên đường thẳng AE thuộc mặt phẳng ( ABM ) , do đó điểm
F thuộc mặt phẳng ( ABM ) . Như vậy các điểm A, B, E , F , M cùng thuộc mặt phẳng ( ABM ) .
Trong tam giác ABM , đường thẳng BF cắt AM tại N . Vì N thuộc AM và A, M cùng thuộc
mặt phẳng ( ACD) nên N thuộc mặt phẳng ( ACD) . Vậy N là giao điểm của đường thẳng BF
và mặt phẳng ( ACD) .
Để xác định giao điểm của một đường thẳng và một phẳng, ta có thể tìm giao điểm của đường
thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.
Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
DẠNG 1: SỬ DỤNG KIẾN THỨC ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ.
Câu 1. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc một
mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.

Câu 2.

(SGK-KNTT 11-Tập 1) Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai đểm A, B của trụ nhảy thể hiện hình ảnh

của một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm A, B
hay không?

Câu 3. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Trong Hình 4.4 là một khối rubik có bốn đỉnh và bốn mặt, mỗi mặt là
một tam giác.

a) Đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn. Khi đó, mặt màu đỏ của
khối rubik có nằm trên mặt bàn hay không?
b) Có thể đặt khối rubik sao cho bốn đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn hay không?
Câu 4. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm
ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nồi,...

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Câu 5. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó,
sợi dây có nằm trên mặt bàn hay không?

Câu 6. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường thẳng
hay không?

Câu 7. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Để tránh cho cửa ra vào không bị va đập vào các đồ dùng xung quanh
(do mở cửa quá mạnh hoặc do gió to dập cửa), người ta thường sử dụng một phụ kiện là hít cửa nam châm.
Hãy giải thích tại sao khi cửa được hút tới vị trí của nam châm thì cánh cửa được giữ cố định.

Câu 8. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình chóp tam giác
đều mà em đã học ở lớp 8?

Câu 9. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Trong các hình chóp ở dưới đây, hình chóp nào có ít đỉnh nhất? Xác
định số đỉnh, số cạnh và số mặt của hình chóp đó.

Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Câu 10. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải
bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được
bưng bằng ít nhất 3 ngón tay. Hãy giải thích tại sao.

Câu 11. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng
photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có chia kích thước giấy và phần dao
cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn
là đường thẳng.

Câu 12. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Trong không gian, cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng ( P) . Những
mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu a chứa một điểm nằm trong ( P ) thì a nằm trong ( P ) .
b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc ( P) thì a nằm trong ( P ) .
c) Nếu a và b cùng nằm trong ( P) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong ( P ) .
d) Nếu a nằm trong ( P ) và a cắt b thì b nằm trong ( P ) .
Câu 13. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho mặt phẳng ( P) và hai đường thẳng a, b nằm trong ( P ) . Một
đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng c nằm
trong mặt phẳng ( P ) .
DẠNG 2: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG.
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng? Ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai
điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.
Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường
thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không
song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.
Các bạn phải nhớ kỹ: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến
là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.
Dạng toán tìm giao tuyến, thường giao tuyến của những câu hỏi đầu hay được sử dụng để tìm giao
điểm để làm bài tập ở những câu sau. Ta xét cụ thể những bài toán sau:
Câu 14. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mặt phẳng ( ABC ) .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC, ( H .4.8) .

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( SBM ) và ( SCN ) .
Câu 15. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho hai đường thẳng cắt nhau a, b và gọi S là một điểm không thuộc

mp(a, b), ( H .4.10) .

Vẽ một đường thẳng c cắt cả hai đường thẳng a và b . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
mp( S , a) và mp( S , c); mp ( S , b) và mp(S , c) .
Câu 16. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng ( ABC ) . Lấy

D, E là các điểm lần lượt thuộc các cạnh SA, SB và D, E khác S .
a) Đường thẳng DE có nằm trong mặt phẳng ( SAB) không?
b) Giả sử DE cắt AB tại F . Chứng minh rằng F là điểm chung của hai mặt phẳng ( SAB) và

 CDE  .

Câu 17. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD và M là một điểm thuộc cạnh SC (M
khác S , C ) . Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại N . Chứng minh rằng đường thẳng MN là
giao tuyến của hai mặt phẳng ( ABM ) và ( SCD) .
Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD có AB cắt CD tại E , AC cắt BD tại F .
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng ( SAB) và SCD) , ( SAC ) và ( SBD) .
b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng ( SAD), (SBC ) .
Câu 19. Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . M , N , P lần lượt là trung điểm
của BC , CD,SO .Tìm giao tuyến của ( MNP ) với các mặt phẳng  SAB  ,  SAD  ,  SBC  và  SCD  .
Câu 20. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AD, BC .
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ( IBC ), ( JAD) .
Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

b) M là một điểm trên cạnh AB , N là một điểm trên cạnh AC .Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
( IBC ),( DMN ) .

Câu 21. Cho tứ diện ABCD . M là một điểm bên trong  ABD , N là điểm bên trong của  ACD . Tìm
giao tuyến của các cặp mặt phẳng
a)  AMN  và  BCD  . b)  DMN  và  ABC  .
Câu 22. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của

SB, SD .Lấy điểm P trên cạnh SC sao cho PC  PS . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng
a) ( SAD) và ( SBD) b) (MNP) và ( SBD) .
c) ( MNP ) và ( SAC ) d) (MNP) và ( SAB) .
e) ( SAD) và ( MNP) f) MNP ) và ( ABCD) .
Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành. I , J , K lần lượt là trung điểm của

BC , CD,SA .Tìm giao tuyến của
a) (IJK ) và ( SAB). b) (IJK) và ( SAD).
c) (IJK ) và ( SCB ). d) (IJK ) và ( SDB ).
Câu 24. Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD laf hình thang có đáy lớn AD . Gọi I là trung điểm của
1
SA , J là điểm nằm trên AD sao cho JD  AD , K  SB : SK  2 BK .Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
4
a) (IJK ) và ( ABCD).
b) (IJK ) và ( SBD).
c) (IJK ) và ( SCB ).
Câu 25. Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M
thuộc cạnh SA . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:
a)  SAC  và  SBD  b)  SAC  và  MBD 

c)  MBC  và  SAD  d)  SAB  và  SCD 
Câu 26. Cho bốn điểm A, B, C , D không cùng thuộc một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AB, AC , BD lần
lượt lấy các điểm M , N , P sao cho MN không song song với BC . Tìm giao tuyến của  BCD  và  MNP  .
Câu 27. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tam
giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mp sau
a)  AMN  và  BCD 
b)  DMN  và  ABC 
Câu 28. Cho tứ diện ABCD , O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD , M là điểm trên đoạn AO
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng  MCD  với các mặt phẳng  ABC  ,  ABD  .

b) Gọi I , J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với
CD . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  IJM  và  ACD  .
DẠNG 3: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) , có hai cách làm như sau:
Cách 1: Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng (  ) chứa đường thẳng d và một đường thẳng
a thuộc mặt phẳng ( ) .
Giao điểm của hai đường thẳng không song song d và a chính là giao điểm của d và mặt phẳng
( ) .

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Cách 2: Tìm một mặt phẳng (  ) chứa đường thẳng d , sao cho dễ dàng tìm giao tuyến với mặt
phẳng ( ) . Giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) chính là giao điểm của đường thẳng
d và giao tuyến a vừa tìm.
Câu 29. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho hình tứ diện ABCD và E là một điểm nằm trong tam giác BCD .
Gọi F là một điểm nằm giữa A và E , ( H .4.12) .

Xác định giao điểm của đường thẳng DF và mặt phẳng ( ABC ) .
Câu 30. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD và lấy một điểm E thuộc cạnh SA của
hình chóp ( E khác S , A) . Trong mặt phẳng ( ABCD) vẽ một đường thẳng d cắt các cạnh CB, CD lần lượt
tại M , N và cắt các tia AB, AD lần lượt tại P, Q .
a) Xác định giao điểm của mp( E , d ) với các cạnh SB, SD của hình chóp.
b) Xác định giao tuyến của mp( E , d ) với các mặt của hình chóp.
Câu 31. (SGK-KNTT 11-Tập 1) Cho hình tứ diện ABCD . Trên các cạnh AC , BC , BD lần lượt lấy các
điểm M , N , P sao cho AM  CM , BN  CN , BP  2 DP .
a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng ( MNP) .
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( ACD) và ( MNP) .
Câu 32. Cho tứ diện ABCD . Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M , N sao cho MN khiing song
song với CD . Gọi O là một điểm bên trong BCD .
a) Tìm giao tuyến của  OMN  và  BCD  .
b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng  OMN  .
Câu 33. Cho hình chóp S. ABCD . M là một điểm trên cạnh SC .
a) Tìm giao điểm của AM và  SBD 
Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC . Tìm giao điểm của SD và  AMN  .

Câu 34. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và BC . K là một điểm trên

cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD . Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng  MNK  .
Câu 35. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và AD . O là một điểm bên
trong BCD . Tìm giao điểm của:
a) MN và  ABO  .
b) AO và  BMN  .
Câu 36. Cho hình chóp S. ABCD , có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB . Gọi I , J , K là ba điểm lần lượt
trên SA, AB, BC .
a) Tìm giao điểm của IK và  SBD  .
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng  IJK  với SD và SC .
Câu 37. Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD có AD và BC không song song với nhau. Lấy I thuộc SA
sao cho SA  3IA , J thuộc SC và M là trung điểm của SB .
a) Tìm giao tuyến của  SAD  và  SBC 
b) Tìm giao điểm E của AB và  IJM 
c) Tìm giao điểm F của BC và  IJM 
d) Tìm giao điểm N của SD và  IJM 
e) Gọi H là giao điểm của MN và BD . Chứng minh rằng H , E , F thẳng hàng.
DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN
I. Phương pháp tìm thiết diện
S

M

Q

N

P

B

A

C

D

Thiết diện của hình ( H ) và hình ( Q ) là phần chung nhau giữa2 hình đó.
Thiết diện của mặt phẳng ( α ) với hình chóp (H ) là phần chung giữa mặt phẳng (α ) và hình chóp
(H ).
Đặc điểm
- Thiết diện là đa giác kín.
- Các cạnh của thiết diện nằm trên các mặt của hình chóp.
- Cạnh của thiết diện được hình thành từ những đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt
của hình chóp.
- Trong giới hạn hình chóp thì Thiết diện có thể cắt hoặc không cắt tất cả các mặt của hình
chóp.
Phương pháp tìm thiết diện
- Xác định điểm chung có sắn.
- Từ các điểm chung có sắn ta xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt chưa điểm chung
đó.
- Từ giao tuyến đó ta xác định đoạn giao tuyến bằng cách tìm giao điểm của giao tuyến với các
cạnh của mặt phẳng đó.
- Từ giao tuyến tìm được ta tiến hành tìm giao tuyến và các đoạn giao tuyến còn lại cho đến khi
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

được 1 hình kín.

Câu 38. Cho hình chóp S . ABCD , đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , I là ba điểm trên AD, CD, SO .
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  MNI  .
Câu 39. Cho hình chóp S . ABC , M là một điểm trên cạnh SC , N và P lần lượt là trung điểm của AB
và AD . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng.
Câu 40. Cho hình chóp S . ABCD .Trong tam giác SBC , lấy một điểm M . Trong tam giác SCD , lấy một
điểm N .
a) Tìm giao điểm của MN và  SAC  .
b) Tìm giao điểm của SC với  AMN  .
c) Tìm thiết diện của hình chóp S . ABCD với mặt phẳng
Câu 41. Cho tứ diện ABCD . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , BC . Trong mặt phẳng

 CDB 

lấy điểm M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau. Hãy tìm thiết diện của hình chóp với

mặt phẳng  HKM  .
Câu 42. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , gọi M , N , P theo thứ tự là
trung điểm của các cạnh SB, SD, OC .
a) Tìm giao tuyến của  MNP  với  SAC 
b) Tìm giao điểm của SA với  MNP 
c) Tìm thiết diện của  MNP  với hình chóp.
Câu 43. Cho chóp S . ABCD , M thuộc SC; N , P trung điểm AB, AD .
a) Tìm giao điểm của CD và  MNP 
b) Tìm giao điểm của SD và  MNP 
c) Tìm giao tuyến của  SBC  và  MNP 
d) Tìm thiết diện của chóp và  MNP  .
Câu 44. Cho tứ diện đều ABCD , cạnh bằng a . Kéo dài BC một đoạn CE  a . Kéo dài BD một đoạn
DF  a . Gọi M là trung điểm AB .
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng  MEF  .
b) Tính diện tích của thiết diện.
Câu 45. Cho hình chóp S . ABCD , có đáy là hình bình hành ABCD . M là trung điểm SB và G là trọng
tâm tam giác SAD .
a) Tìm giao điểm I của MG với  ABCD  , chứng tỏ I thuộc mặt phẳng  CMG  .
b) Chứng tỏ (CMG) đi qua trung điểm của SA , tìm thiết diện của hình chóp với  CMG  .
c) Tìm thiết diện của hình chóp với  AMG  .
Câu 46. Cho hình chóp S . ABCD , có đáy là hình thang ABCD, AB là đáy lớn. I , J lần lượt là trung điểm

SA, SB; M thuộc SD .
a) Tìm giao tuyến của  SAD  và  SBC  .
Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

b) Tìm giao điểm K của IM và  SBC  .
c) Tìm giao điểm N của SC và  IJM  .

d) Tìm thiết diện của hình chóp với  IJM  .
Câu 47. Cho hình chóp S . ABCD , có đáy là hình thang ABCD , AB là đáy lớn.
Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm AD, BC , SB .
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (IJK) và (SCD).
b) Tìm giao điểm M của SD và (IJK).
c) Tìm giao điểm N của SA và (IJK).
d) Tìm thiết diện của hình chóp với (IJK). Thiết diện là hình gì?
DẠNG 5: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai
mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng
hàng.
Câu 48. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng   qua MN
cắt AD, BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I . Chứng minh ba điểm I , B, D thẳng hàng.
Câu 49. Cho tứ diện SABC . Trên SA, SB và SC lấy các điểm D , E và F sao cho DE cắt AB tại I , EF
cắt BC tại J , FD cắt CA tại K . Chứng minh ba điểm I , J , K thẳng hàng.
Câu 50. Cho tứ diện S.ABC có D , E lần lượt là trung điểm của AC , BC và G là trọng tâm của tam giác

ABC . Mặt phẳng   đi qua AC cắt SE , SB lần lượt tại M , N . Một mặt phẳng    đi qua BC cắt
SD, SA tương ứng tại P và Q .

a) Gọi I  AM  DN , J  BP  EQ . Chứng minh S ,I ,J ,G thẳng hàng.
b) Giả sử K  AN  DM , L  BQ  EP . Chứng minh S ,K ,L thẳng hàng.
Câu 51. Cho tứ giác ABCD và S   ABCD  . Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD .
a. Tìm giao điểm I  BN   SAC  .
b. Tìm giao điểm J  MN   SAC  .
c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng.

Câu 52. Cho mặt phẳng  P  và điểm A, B, C không thẳng hàng và ở ngoài  P  . Giả sử các đường thẳng

BC , CA, AB lần lượt cắt  P  tại các điểm D, E , F . Chứng minh D, E , F thẳng hàng.
Câu 53. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi I , J là hai điểm cố định trên SA, SC với SI  IA và SJ  JC . Một
mặt phẳng  P  quay quanh IJ cắt SB tại M , SD tại N .
a. Chứng minh rằng IJ , MN , SO đồng quy ( O  AC  BD ). Suy ra cách dựng điểm N khi biết
M.
b. AD cắt BC tại E , IN cắt JM tại F . Chứng minh S , E , F thẳng hàng.
Câu 54. Cho hình chóp S . ABC . Trên SA, SB, SC lấy các điểm M , N , P . Gọi E , F , K lần lượt là giao
điểm của MN với AB , NP với BC , MP với AC . Chứng minh E , F , K thẳng hàng.
Câu 55. Trong mặt phẳng  P  cho tứ giác lồi ABCD và điểm S nằm ngoài mặt phẳng  P  . Giả sử

C ', D ' là các điểm trên SC , SD sao cho đường thẳng AD ' và BC ' cắt nhau tại M . Giả sử A ', B ' là hai
điểm trên SA, SB sao cho DA ' và CB ' cắt nhau tại N . Chứng minh M , N , S thẳng hàng.
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương

https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Điện thoại: 0946798489

TOÁN 11-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Câu 56. Cho hình bình hành ABCD , S là điểm không thuộc  ABCD  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của AB và SC .

a. Tìm giao điểm I  AN   SBD  .
b. Tìm giao điểm J  MN   SBD  .

c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng.
Câu 57. Cho hình chóp SABC . Gọi L, M , N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, AC sao cho LM
không song song với AB , LN không song song với SC .

a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  LMN  và  ABC  .
b. Tìm giao điểm I  BC   LMN  và J  SC   LMN  .

c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng.
Câu 58. Cho hình chóp S . ABCD , M là một điểm trên cạnh BC , N là một điểm trên cạnh SD .
a) Tìm giao điểm I của BN và  SAC  và giao điểm J của MN và  SAC  .
b) DM cắt AC tại K . Chứng minh S , K , J thẳng hàng.
c) Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD với mặt phẳng  BCN  .
DẠNG 6: CHỨNG MINH 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY.
Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm
chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba
Câu 59. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một mặt
phẳng   cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tưng ứng tại các điểm M , N , P, Q . Chứng minh rằng các đường
thẳng MP, NQ, SO đồng qui.
Câu 60. Chóp S. ABC . M  SA sao cho MA  2MS . P  SB để PS  2 PB . Q là trung điểm SC .
Nối MP  AB  H , MQ  AC  K . Chứng minh PQ, BC , HK đồng quy.
Câu 61. Chóp S. ABCD . AC  BD  H . Mặt phẳng  P  chứa CD cắt SA, SB tại M , N . Chứng minh

CM , DN , SH đồng quy.
PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ)
1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.
Câu 4.

Trong hình học không gian:
A. Điểm luôn phải thuộc mặt phẳng.
B. Điểm luôn luôn không thuộc mặt phẳng.
C. Điểm vừa thuộc mặt phẳng đồng thời vừa không thuộc mặt phẳng.
D. Điểm có thể thuộc mặt phẳng, có thể không thuộc mặt phẳng.
Trong hình học không gian
A. Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng.
B. Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng.
C. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
D. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.
Trong không gian cho 4 điểm phân biệt không đồng phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Khi đó, có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 trong số 4 điểm trên.
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì
A. Cùng thuộc đường tròn.
B. Cùng thuộc đường elip.
C. Cùng thuộc đường thẳng.
D. Cùng thuộc mặt cầu.
Facebook Nguyễn Vương

https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Câu 5.

Câu 6.

Cho biết mệnh đề nào sau đây sai?
A. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
B. Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc nó xác định duy nhất một mặt phẳng.
C. Qua hai đường thẳng xác định duy nhất một mặt phẳng.
D. Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng.
Cho hình lập phương ABCD.ABCD (các đỉnh lấy theo thứ tự đó). Gọi  P  là mặt phẳng bất kì

cắt hình lập phương đó. Khi đó, thiết diện do mặt phẳng  P  cắt hình lập phương là một đa giác

Câu 7.

có số cạnh tối đa là bao nhiêu?
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Cho hình chóp S . ABCD (đáy là một tứ giác lồi). Gọi  P  là mặt phẳng bất kì cắt hình chóp. Khi
đó, thiết diện do mặt phẳng  P  cắt hình chóp là một đa giác có số cạnh tối đa là bao nhiêu?

Câu 8.

Câu 9.
Câu 10.
Câu 11.
Câu 12.
Câu 13.
Câu 14.
Câu 15.
Câu 16.
Câu 17.
Câu 18.

A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng .
B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng .
C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng .
D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng .
Cho 2 đường thẳng a , b cắt nhau và không đi qua điểm A . Xác định được nhiều nhất bao nhiêu
mặt phẳng bởi a, b và A?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4.
Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không thuộc mp (ABCD). Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng
xác định bởi các điểm A, B, C, D, S?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Cho 5 điểm A, B, C , D, E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt
phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho.
A. 10.
B. 12.
C. 8.
D. 14.
Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là:
A. 5 mặt, 5 cạnh.
B. 6 mặt, 5 cạnh.
C. 6 mặt, 10 cạnh.
D. 5 mặt, 10 cạnh.
Một hình chóp cụt có đáy là một n giác, có số mặt và số cạnh là:
A. n  2 mặt, 2n cạnh. B. n  2 mặt, 3n cạnh.
C. n  2 mặt, n cạnh. D. n mặt, 3n cạnh.
Trong các hình chóp...