TOÁN
➉
1

2

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI
ẨN.
BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC

NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ.
3
BÀI TẬP

§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI
ẨN
Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn
và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
xuất hiện nhiều trong nhiều bài toán kinh
tế, như là những ràng buộc trong các bài
toán sản xuất, bài toán phân phối hàng
hóa,…
Chương này cung cấp cách biểu diễn
miền nghiệm của các bất phương trình và
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên
mặt phẳng tọa độ.

§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI
ẨN
THUẬT NGỮ
 Bất phương trình
bậc nhất hai ẩn.
 Miền nghiệm của

KIẾN THỨC, KỸ NĂNG
 Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai
ẩn.
 Biết biểu diễn miền nghiệm của bất

bất phương trình bậc

phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt

nhất hai ẩn.

phẳng tọa độ.
 Vận dụng kiến thức về bất phương trình

§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI
ẨN
• Nhân ngày quốc tế Thiếu nhi , một rạp chiếu phim phục vụ các
khán giả một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:
• Loại (dành cho trẻ từ tuổi): đồng/vé;
• Loại (dành cho người trên tuổi): đồng/vé.
• Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu
được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểutriệu đồng. Hỏi số vé
bán được trong trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?

     

   

HĐ1.
Trong tình huống mở đầu, gọi là số vé loại 1 bán được và là số vé

loại 2 bán được. Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị
nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo và
Bài giải
• Số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim đó theo
(nghìn đồng)

và là:

HĐ1.
a) Các số nguyên không âm x và phải thỏa mãn điều kiện gì để số
tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng?
b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì và phải thỏa
mãn điều gì?

     

   

Bài giải
a) Các số nguyên không âm và phải thỏa mãn điều kiện

thì số tiền

bán vé thu được đạt tối thiểu triệu đồng.
b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì và phải
thỏa mãn .
 Mỗi hệ thức liên hệ giữa và thu được trong HĐ1a và HĐ1b được
gọi là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát
là:
trong đó là những số thực đã cho và không đồng
thời bằng ; và là các ẩn số.

     

   

Ví dụ 1.

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Bài giải
• Bất phương trình là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Bất phương trình không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì
chứa .

HĐ 2.
Cặp số thỏa mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai
bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có
phải bù lỗ hay không nếu bán được vé loại 1 và vé loại 2

     

   

Bài giải
• Cặp số thỏa mãn bất phương trình .
Vậy rạp chiếu phim sẽ phải bù lỗ nếu bán được 100 vé loại 1 và 100
vé loại 2.
• Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số .
• Cặp số thỏa mãn bất phương trình .
Vậy rạp chiếu phim sẽ không phải bù lỗ nếu bán được vé loại và vé

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng
quát là:
trong đó là những số thực đã cho và không đồng
thời bằng ; và là các ẩn số.
Cặp số gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc
nhất hai ẩn nếu bất đẳng thức đúng.

     

   

Ví dụ 2.
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn . Cặp số nào sau đây là một

nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên?
a) b).
Bài giải
a) Vì nên cặp số là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
b) Vì nên cặp số không phải là một nghiệm của bất phương trình
đã cho.

     

Luyện tập
1.
Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn .
   

a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.
b) Với có bao nhiêu giá trị của thỏa mãn bất phương trình đã cho?
Bài giải
a) Vì nên cặp số là một nghiệm của bất phương trình.
Vì nên cặp số là một nghiệm của bất phương trình.
b) Với , BPT trở thành
Vậy có vô số giá trị của thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Nhận xét. Bất phương bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

     

HĐ 3.
Cho đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ (H.2.1). Đường thẳng này
chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
a) Các điểm , và có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường
thẳng không?
Tính giá trị của biểu thức tại các điểm đó và so sánh với 4.
   

Bài giải
a) Các điểm , và thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng .
Tại điểm giá trị biểu thức là: ;
Tại điểm giá trị biểu thức là: ;
Tại điểm giá trị biểu thức là:
.

     

HĐ 3.
Cho đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ (H.2.1). Đường thẳng này
chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
   

b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm và .

Bài giải
b) Các điểm và thuộc cùng một nửa mặt phẳng
bờ là đường thẳng .
• Tại điểm giá trị của biểu thức là:
;
• Tại điểm giá trị của biểu thức là:
.

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
 Trong mặt phẳng tọa độ tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của
bất phương trình được gọi là miền nghiệm của bất phương trình
đó.
 Người ta chứng minh được rằng đường thẳng có phương trình chia
mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng bờ
- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ ) gồm các điểm có tọa độ thỏa
mãn
- Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ ) gồm các điểm có tọa độ
thỏa mãn
Bờ gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn

     

   

Ví dụ 3.

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
Bài giải
Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương
trình bậc nhất hai ẩn như sau:
• Bước 1: Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng
tọa độ
• Bước 2: Lấy một điểm bất kỳ không thuộc
trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức .
Chẳng hạn, lấy , ta có: .
Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã
cho là nửa mặt phẳng bờ không chứa gốc
tọa độ (miền không bị gạch).

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình
bậc nhất hai ẩn .
• Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ
• Lấy một điểm không thuộc .
• Tính và so sánh với .
• Nếu thì nửa mặt phẳng bờ chứa là miền nghiệm
của bất phương trình. Nếu thì nửa mặt phẳng bờ
không chứa là miền nghiệm của bất phương trình

     

   

Ví dụ 4.

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
Bài giải
• Bước 1: Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng
tọa độ
• Bước 2: Lấy không thuộc
và thay , vào biểu thức ta được .
Do đó miền nghiệm của bất phương trình
đã cho là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm
(miền không bị gạch).

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

 Chú ý:
Miền nghiệm của bất phương trình

là miền nghiệm

của bất phương trình bỏ đi đường thẳng
đường thẳng bằng nét đứt.

và biểu diễn

Luyện tập
2.
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ.

     

   

Bài giải
• Bước 1: Vẽ đường thẳng trên mặt phẳng
tọa độ
• Bước 2: Lấy không thuộc và thay , vào
biểu thức ta được (thỏa mãn).
Do đó miền nghiệm của bất phương trình
đã cho là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm ,
không kể đường thẳng (miền không bị
gạch).

       Ví dụ 5.
Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Bài giải
Gọi là số lượng vé loại 1 bán được và là số lượng vé loại 2 bán
thì số tiền bán vé thu được là (nghìn đồng).
được
Người ta sẽ phải bù lỗ trong trường hợp số tiền bán vé nhỏ hơn triệu
đồng, tức là: hay .
Như vậy, việc giải quyết bài toán mở đầu dẫn đến việc đi tìm miền
nghiệm của bất phương trình .
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định
như sau:
Bước 1: Vẽ đường thẳng .
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ và tính .

       Ví dụ 5.
Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Bài giải

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt
phẳng bờ chứa gốc toạ độ không kể đường thẳng
(H.2.4).
Miền tam giác
gồm các điểm bên
trong và các điểm
trên ba cạnh của
tam giác

       Ví dụ 5.
Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Bài giải
Vậy, nếu bán được số vé loại 1 là
và số vé loại 2 là mà :
- Điểm nằm trong miền tam giác
không kể cạnh thì rạp chiếu phim
sẽ phải bù lỗ.
- Nếu điểm nằm trên đoạn thẳng
thì rạp chiếu phim hòa vốn.

Nhận xét
• Nếu bán được vé loại 1 và

vé loại 2 thì rạp chiếu phim có lãi.

• Nếu bán được

vé loại 1 và vé loại 2 thì rạp chiếu phim hoà vốn.

• Nếu bán được
lỗ.

vé loại 1 và vé loại 2 thì rạp chiếu phim phải bù

       Vận dụng
Một công ty viễn thông tính phí nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và
nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu
phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng
nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn nghìn đồng?
Bài giải
Gọi là số phút gọi nội mạng và là số phút gọi ngoại mạng
thì số tiền cần phải trả là (nghìn đồng).
Vì đề bài yêu cầu số tiền phải ít hơn nghìn đồng nên ta có
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này
được xác định như sau:
Bước 1: Vẽ đường thẳng.
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ và tính .

       Vận dụng
Một công ty viễn thông tính phí nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và
nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu
phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng
nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn nghìn đồng?
Bài giải
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình
là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc toạ độ
không kể đường thẳng .
Mặt khác bài toán có nên miền nghiệm
của bài toán là miền tam giác .

       Vận dụng
Một công ty viễn thông tính phí nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và
nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu
phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng
nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn nghìn đồng?
Bài giải
Khi đó,
Điểm với nằm trong miền tam giác không
kể cạnh thì số tiền phải trả ít hơn (nghìn
đồng).
Điểm nằm trên đường thẳng thì số tiền
phải trả là (nghìn đồng).

3. BÀI TẬP

3. BÀI TẬP
2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) ; b) ; c) .
2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt
phẳng toạ độ:
a) ; b) .
2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá
thuê xe được cho như bảng sau:
Phí cố định
(nghìn đồng/ngày)

Thứ Hai đến thứ
Sáu
Thứ Bảy và Chủ
a) Gọi và lần
nhật

Phí theo quãng đường di
chuyển(nghìn đồng / kilômét)

lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ
Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu
thị mối liên hệ giữa và sao cho tổng số tiền ông An phải trả không
quá triệu đồng.
b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt
phẳng toạ độ.

       BÀI TẬP 2.1
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) ; b) ;

c) .

Bài giải
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là

và

Bất phương trình không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn
vì chứa .

       BÀI TẬP 2.2
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng
toạ độ:
a) ; b) .
Bài giải
a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình
Bước 1: Vẽ đường thẳng .
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ
và tính (vô lí).
Do đó, miền nghiệm của bất phương
trình là nửa mặt phẳng bờ không chứa
gốc toạ độ và kể đường thẳng .

       BÀI TẬP 2.2
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng
toạ độ:
a) ; b) .
Bài giải
b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình
Bước 1: Vẽ đường thẳng.
Bước 2: Ta lấy điểm
và tính (vô lí).
Do đó, miền nghiệm của bất phương
trình là nửa mặt phẳng bờ không
chứa điểm không kể đường thẳng

       BÀI TẬP 2.3
Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê
xe được cho như bảng sau:
Phí cố định
(nghìn đồng/ngày)

Phí theo quãng đường di
chuyển(nghìn đồng / kilômét)

Thứ Hai đến thứ
Sáu
Thứ Bảy và Chủ
a)
Gọi và lần
nhật

lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai
đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu
thị mối liên hệ giữa và sao cho tổng số tiền ông An phải trả không
quá triệu đồng.
Bài giải
a) Gọi và lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày
từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần (điều
kiện
)
Số tiền ông An phải trả từ thứ hai đến thứ sáu là
(nghìn đồng)

       BÀI TẬP 2.3
Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê
xe được cho như bảng sau:

Phí cố định
(nghìn đồng/ngày)

Phí theo quãng đường di
chuyển(nghìn đồng / kilômét)

Thứ Hai đến thứ Sáu
Thứ Bảy và Chủ nhật

a) Gọi và lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai
đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu
thị mối liên hệ giữa và sao cho tổng số tiền ông An phải trả không
quá triệu đồng.
Bài giải
Số tiền ông An phải trả hai ngày cuối tuần là (nghìn đồng)
Vì đề bài yêu cầu tổng số tiền ông An phải trả không quá triệu đồng
nên ta có (nghìn đồng)

       BÀI TẬP 2.3
b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng
toạ độ.
Bài giải
Miền nghiệm của bất phương trình bậc
nhất hai ẩn được xác định như sau:
Bước 1: Vẽ đường thẳng .
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ
và tính .
Do đó, miền nghiệm của bất phương
trình là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc
toạ độ, kể đường thẳng